Funciones Recursivas

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Funciones Recursivas en la Lógica Filosófica

Hay varios tipos de funciones recursivas. Para explicarlas debemos introducir primero alguna terminología: una función constante es una función que tiene el mismo valor para todos sus argumentos; una función sucesora tiene como valor para cualquier argumento dado el sucesor de ese argumento; una función de identidad es una función de n argumentos cuyo valor es siempre el argumento ith. Todas estas funciones se conocen como funciones fundamentales.
Una función de n argumentos se define por composición cuando, dado cualquier conjunto de funciones previamente introducidas de n argumentos, el valor de la nueva función es igual al valor de una función previamente introducida cuyos argumentos en cualquier caso particular son los valores de cada uno de los miembros del conjunto de funciones cuando sus argumentos son los argumentos de la nueva función introducida en ese caso particular.Entre las Líneas En los símbolos, donde P es la nueva función que se define por composición, P(a1, a2, – – -, an) = R(S1(a1, a2, – – -, an), S2(a1, a2, – – -, an), – – -, Sm(a1, a2, – – -, an)), donde R y S1, S2, – – -, Sm son funciones introducidas previamente.

Una función se define por recursividad en las siguientes circunstancias: 1) Se asigna un valor a la función para el caso en que uno de sus argumentos sea 0 en términos de una función previamente introducida cuyos argumentos, excepto el 0, son en cualquier caso particular todos y sólo los argumentos de la nueva función en ese caso particular.Entre las Líneas En los símbolos, donde P es la nueva función y R la función introducida anteriormente, P(a1, a2, – – -, an, 0) = R(a1, a2, – – -, an). (2) Se da un valor a la nueva función cuando 0 no es uno de sus argumentos y cuando uno de sus argumentos es el sucesor de cualquier número b, en términos de una función previamente introducida S, cuyos argumentos, excepto el sucesor de b, son en cualquier caso particular todos los argumentos de la nueva función introducida, b en sí misma, y el valor de la nueva función cuando sus argumentos son todos y sólo los argumentos ya dados para S.Entre las Líneas En los símbolos, P(a1, a2, – – -, an, b + 1) = S(a1, a2, – – -, an, b, P(a1, a2, – – -, an, b)).
Cualquier función numérica que sea una función fundamental o que pueda obtenerse, por composición o recursión o ambas, de las funciones fundamentales por una secuencia finita de definiciones es una función numérica primitiva recursiva. Una función P es introducida por el operador de menor número si su valor para un determinado conjunto de argumentos es el menor número b tal que el valor de una función introducida anteriormente R, cuyos argumentos en cualquier caso concreto son los argumentos de P en ese caso y b, es igual a 0 siempre que exista tal b; si no existe tal b, la función no está definida para esos argumentos.Entre las Líneas En los símbolos, P(a1, a2, – – -, an) = el menor b tal que R(a1, a2, – – -, an, b) = 0, siempre que exista un b tal que R(a1, a2, – – -, an, b) = 0. Cualquier función numérica que o bien es una función fundamental o bien puede obtenerse a partir de las funciones fundamentales mediante una secuencia finita de definiciones por composición, recursividad y el operador de número menor (cuando este operador se utiliza para definir una función recursiva general, debe darse el caso de que para todo a1, a2, – – -, an existe una b tal que R(a1, a2, – – -, an, b) = 0) es una función numérica recursiva general.

El enumerable de forma recursiva

Se utiliza de un conjunto o clase que se enumera (permitiendo las repeticiones) por una función recursiva general. Es decir, existe una función recursiva general cuyo dominio inverso tiene los mismos miembros que el conjunto cuando su dominio es el conjunto de números naturales.

La teoría recursiva de los números

El desarrollo de la teoría de los números, instituida por Thoralf Skolem, en la que no se introducen cuantificadores como símbolos primitivos, en la que la universalidad se expresa mediante el uso de variables libres y en la que las funciones se introducen mediante definiciones por recursividad.

El conjunto recursivo

Un conjunto que se enumera (permitiendo las repeticiones) por una función recursiva general y cuyo complemento también se enumera (permitiendo las repeticiones) por una función recursiva general.

Datos verificados por: Marck

Funciones Recursivas en Filosofía y la Lógica Matemática

Las funciones recursivas son una clase de funciones sobre los números naturales estudiados en la teoría de la computación, una rama de la lógica matemática contemporánea que originalmente se conocía como teoría de la función recursiva. Tales funciones toman su nombre del proceso de recursividad por el cual el valor de una función se define por la aplicación de la misma función aplicada a argumentos más pequeños.

Los orígenes de la recursión primitiva

El primer trabajo dedicado exclusivamente a la definibilidad recursiva fue el de Skolem (1923). Los fundamentos de la aritmética elemental establecidos por el modo recursivo de pensamiento, sin el uso de variables aparentes que se extienden sobre dominios infinitos.

Basado en la experiencia de varios autores, mis opiniones, perspectivas y recomendaciones se expresarán a continuación (o en otros lugares de esta plataforma, respecto a las características en 2026 o antes, y el futuro de esta cuestión):

Este trabajo es significativo con respecto al desarrollo posterior de la teoría de la computación por al menos tres razones.Entre las Líneas En primer lugar, contiene una descripción informal de lo que ahora llamamos las primitivas funciones recursivas.Entre las Líneas En segundo lugar, puede considerarse el primer lugar en el que la definibilidad recursiva está vinculada a la computabilidad efectiva (véase también Skolem 1946). Y en tercer lugar, demuestra que una amplia gama de funciones y relaciones son recursivas primitivas de una manera que anticipa el uso de la recursión primitiva de Gödel (1931) para la aritmética de la sintaxis.

Uno de los objetivos declarados de Skolem era presentar un fundamento lógico para la teoría de los números que evitara el uso de cuantificadores no restringidos. Se inspiró a este respecto en la observación de que es posible desarrollar gran parte de la aritmética elemental sin el uso de las expresiones “siempre” (es decir, para todos) y “a veces” (es decir, existe) que figuran en la formalización de la teoría de los números dada por Russell y Whitehead en Principia Mathematica (1910-1913). Esto se lograría formulando teoremas aritméticos como lo que él denominó afirmaciones funcionales. Estas tomaron la forma de identidades entre términos definidos por operaciones primitivas recursivas a las que Skolem se refirió como funciones descriptivas.

Datos verificados por: Marck

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