El Nudo

Este elemento es una ampliación de los cursos y guías de Lawi. Ofrece hechos, comentarios y análisis sobre el nudo. [aioseo_breadcrumbs]

El Nudo en Derecho Marítimo

[rtbs name=”derecho-maritimo”]Definición de nudo: Una milla náutica (véase este término en la presente plataforma internacional) (6080 pies) por hora, la medida de la velocidad marítima en el mar.

Nota: traducido por William Lawrence.

El Nudo

El nudo, en cordelería, es el entrelazamiento de partes de una o más cuerdas, cordones u otros materiales flexibles, comúnmente utilizado para unir objetos. Los nudos han existido desde que los humanos utilizaron por primera vez lianas y fibras similares a cuerdas para unir cabezas de piedra a la madera en las hachas primitivas. Los nudos también se utilizaban en la fabricación de redes y trampas, pero sólo se hicieron realmente sofisticados cuando empezaron a utilizarse en las cuerdas, o jarcias, que controlaban las velas de los primeros veleros. De este modo, la fabricación de nudos pasó a ser competencia de los marineros, que históricamente han demostrado una gran habilidad e ingenio a la hora de idear distintos tipos de nudos para diferentes propósitos. Con la llegada de las máquinas de vapor para propulsar los barcos, el uso de velas, aparejos y nudos se redujo considerablemente, una tendencia que ha continuado incluso en los veleros modernos debido al uso de cornamusas especiales, cabrestantes y otros dispositivos alternativos para controlar el aparejo. Sin embargo, los nudos siguen utilizándose ampliamente en la vida cotidiana, y de ellos dependen campistas y excursionistas, montañeros, pescadores y tejedores, entre otros, o incluso una persona que ata un cordón de zapato o un paquete.

Los principales requisitos de un buen nudo son que no resbale al hacerse y que se pueda atar y desatar sin dificultad. Hay muchas formas diferentes de unir una cuerda o cordel a otro o de atar una cuerda a una pértiga, anilla u otro objeto. En el sentido estricto del término, un nudo es un nudo que se hace en una cuerda girando la cuerda sobre sí misma a través de un bucle, como en un nudo overhand. Un nudo se utiliza para atar una cuerda a otro objeto, como un mástil, mientras que un nudo se utiliza para atar una cuerda a otra. El principio que rige todos los nudos, enganches y dobleces es que la tensión que tira de ellos hace que sus partes constituyentes se junten más, y la fricción resultante permite que el nudo “aguante”. La “parte que se mantiene” de una cuerda se refiere a la parte que va desde el nudo que se está atando hacia la carga. A continuación se describen algunos de los nudos más importantes.

El nudo overhand es el tipo de nudo más sencillo y se utiliza para hacer un nudo en una cuerda, cordel o cordel. Se utiliza para atar paquetes, para evitar que se deshilachen los extremos de la cuerda y como primer paso para hacer nudos más complejos, como el nudo de cirujano y el nudo cuadrado. Un nudo overhand se hace cruzando el extremo de la cuerda alrededor de la parte que está de pie para formar un lazo, llevando el extremo de la cuerda a través del lazo y tirando de la cuerda para tensarla. Se produce un nudo corredizo cuando, al hacer un nudo de mano, se desliza una lazada en lugar del extremo de la cuerda a través de la primera lazada. Este nudo se suelta fácilmente tirando de su extremo libre. Los cordones de los zapatos suelen atarse con un nudo corredizo doble. Un nudo cuadrado se compone de dos nudos por encima girados en sentidos opuestos. Se aplana cuando se tira de él, lo que lo hace útil en primeros auxilios y para atar paquetes. El nudo de cirujano es una forma elaborada del nudo cuadrado; se compone de dos nudos vueltos en sentidos opuestos, pero con una vuelta adicional después de atar el primero. Esto permite que las partes de la cuerda se mantengan en su sitio por fricción hasta que se haga el segundo nudo. El nudo debe su nombre a su uso quirúrgico para atar una ligadura alrededor de una arteria cortada.

El medio nudo es la forma más sencilla de nudo y, en realidad, es una variante del nudo overhand. Se hace pasando el extremo de una cuerda alrededor de su parte fija y a través del bucle así formado. Los dos medios nudos, que se forman haciendo un segundo medio nudo alrededor de la parte fija de la cuerda, se utilizan a menudo para asegurar el extremo de una cuerda a sí misma después de haberla enrollado alrededor de una anilla, un pilote u otro amarre. El nudo de madera, en el que la cuerda se vuelve sobre sí misma al menos tres veces, es una variante de nudo rápido que utilizan los leñadores en los troncos de los árboles. El nudo de Blackwall se utiliza para atar una cuerda a un gancho. Se hace doblando una cuerda cerca de su extremo para formar un lazo e introduciendo la caña del gancho a través del lazo, de modo que éste pueda atascarse entre la parte erguida de la cuerda y el gancho. Un nudo más versátil utilizado para atar una cuerda a un gancho es la pata de gato. Se hace retorciendo dos partes de una cuerda en direcciones opuestas, formando dos ojos uno al lado del otro a través de los cuales se pasa la base del gancho para que cuelgue una eslinga del gancho. El nudo así formado puede utilizarse para elevar cargas en cualquier ángulo deseado variando su posición con respecto a la eslinga. El nudo de trébol, también llamado nudo de constructor o nudo ratonero, se hace pasando el extremo de la cuerda alrededor de un objeto y luego cruzándolo sobre la parte erguida de la cuerda para formar una lazada, pasando después el extremo alrededor del objeto de nuevo para formar una segunda lazada, a través de la cual se pasa el extremo. Este nudo se utiliza para sujetar temporalmente una cuerda a una verga, un mástil, un tronco de árbol, etcétera. El nudo puede soltarse simplemente levantándolo del objeto. El nudo de trébol rara vez se suelta, pero puede aflojarse con tirones continuos.

El nudo de escota, o nudo tejedor, es muy utilizado por los marineros para unir dos cabos de distinto tamaño. El extremo de una cuerda se pasa a través de una lazada de la otra, se pasa alrededor de la lazada y por debajo de su propia parte de pie. Una red de pesca ordinaria es una serie de dobleces de sábana. El nudo de pescador, o de ancla, es un nudo especialmente fuerte y sencillo que no se atasca ni resbala con la tensión y puede desatarse fácilmente. Este nudo se utiliza para atar una cuerda a una anilla, un anzuelo, un ancla u otro objeto. Se hace dando dos vueltas a la cuerda alrededor de un objeto sólido, pasando luego el extremo por debajo de ambas vueltas para formar un par de medios nudos. Sin embargo, cuando no está sometido a tensión, el doblez del pescador puede soltarse si el extremo libre no está asegurado.

El sheepshank es un nudo sencillo útil para acortar temporalmente una cuerda. Se hace haciendo un doble lazo en la cuerda y atando un medio nudo en cada extremo. Puede utilizarse para reforzar una cuerda en su punto débil, colocando la parte débil en medio de las dos vueltas. El nudo se mantendrá firme sólo cuando el nudo esté tenso para mantener los medios nudos tensos. Se puede asegurar deslizando un objeto a través de cada extremo del bucle o mediante un nudo sobrepuesto atado sobre cada bucle.

La bolina forma un lazo que no puede deslizarse. Es un nudo muy común y útil que se utiliza para amarrar barcos e izar o arrastrar objetos. Se hace colocando el extremo de la cuerda sobre su parte superior para formar un lazo sobre el extremo y, a continuación, llevando el extremo por detrás de la parte superior y a través del lazo. Una variante, la bolina corrida, se utiliza para hacer un lazo, y otra variante, la bolina en un bucle, puede utilizarse cómodamente como eslinga para subir o bajar a una persona sentada en el bucle.

Un empalme se realiza desenrollando las hebras constituyentes de dos cabos de cuerda y entrelazándolas. El amarre consiste en unir dos cuerdas mediante otra cuerda.

Revisor de hechos: Brite

Teoría de Nudos, cadenas, trenzas y polinomios

Intuitiva y matemáticamente, se dice que dos nudos son equivalentes si uno de ellos puede deformarse para adoptar la forma del otro. Si nos atenemos al sentido común, todos los nudos son equivalentes: siempre podemos deshacer cualquier nudo y transformarlo en un segmento, que luego podemos volver a unir para obtener cualquier otro nudo. La cosa cambia si primero pegamos los dos extremos de la cuerda.

Por ejemplo, parece -¡pero sabemos cómo demostrarlo! – que no es posible pasar por deformación continua (es decir, sin cortar la cuerda) del nudo a al nudo d, mientras que sí es posible de a a b o de a a c. Para el matemático, un nudo es por tanto una curva en el espacio, cerrada y sin doble punto, eventualmente orientada, y una cadena es un conjunto finito de tales curvas.

La clasificación de los nudos se reduce entonces a la búsqueda de magnitudes invariantes frente a la deformación que permitan distinguirlos unos de otros. Estas cantidades pueden ser números: por ejemplo, el orden de un nudo, definido por P. G. Tait en el siglo XIX, es el menor número de cruces que aparecen en los diagramas de este nudo; este autor llegó empíricamente a clasificar los nudos hasta el orden 7.

Esta exploración inicial le permitió definir las nociones de nudos primos y de producto de dos nudos: el producto de dos nudos se obtiene cortando cada nudo y pegando los extremos libres.

El círculo sirve de unidad para este producto. Los nudos primos son aquellos que no pueden descomponerse en un producto de nudos más simples, y se ha demostrado que cada nudo puede descomponerse de forma única, hasta el orden más próximo, en un producto de nudos primos. Sólo nos queda estudiarlos. Ahora se conoce la clasificación de los nudos primos hasta el orden 13: hay 12.965, y D.W. Summers ha demostrado que el número de nudos aumenta al menos exponencialmente en función del orden.

Con el nudo trivial, de orden 0, he aquí la distribución de los nudos primos según su orden y su número, sin tener en cuenta las versiones izquierda y derecha del mismo nudo, en su caso.

A principios del siglo XX se definieron muchos otros invariantes. Entre ellos se encuentran:

– la superficie “más simple” cuyo borde es;

– los caminos que se pueden recorrer al “girar en el espacio”, que forman un grupo;

– un polinomio, debido a James V. Alexander (1920) y definido a la potencia t n más próxima. Por ejemplo, los polinomios para el nudo trébol y el nudo figura de ocho son respectivamente: Δ(t) = t2-t+1 y Δ(t)=t2-3 t+1. Por lo tanto, estos dos nudos son distintos.

Alexander también demostró que se podía obtener cualquier nudo cerrando una trenza hebra a hebra. También en la década de 1920, Emil Artin realizó un estudio algebraico de las trenzas de n hebras, que también forman un grupo y se generan por cruces elementales de una hebra sobre (o bajo) la siguiente. El problema de la equivalencia de las trenzas puede reducirse entonces a una equivalencia de palabras escritas mediante generadores.

A lo largo del último siglo se han realizado muchas otras aportaciones. En particular, K. Reidemeister (1920) proporcionó un criterio de equivalencia para los diagramas de nudos que ha desempeñado un papel considerable desde entonces, al igual que el descubrimiento de J. H. Conway (1971) de una relación que vincula los polinomios de tres nudos o cadenas que difieren en un solo cruce.

En 1984, la comunidad matemática se sorprendió al conocer el descubrimiento por el matemático neozelandés Vaughan Jones de un nuevo polinomio invariante asociado a nudos y cadenas. Este polinomio, más fino que el de Alexander, permite distinguir entre las variantes izquierda y derecha de un mismo nudo; pero, en realidad, la sorpresa estaba en otra parte: Jones estudiaba objetos matemáticos (las álgebras de J. von Neumann) que no parecen tener nada que ver con los nudos; estas álgebras no conmutativas fueron introducidas por J. von Neumann y F. J. Murray en la década de 1940 a efectos de la mecánica cuántica y se han seguido estudiando de forma independiente. En el curso de sus estudios, V. Jones observó una analogía puramente formal entre las relaciones que vinculan ciertos operadores de estas álgebras, por una parte, y las relaciones descubiertas por Artin entre los generadores del grupo de las trenzas, por otra; esto le permitió, mediante trenzas cerradas, transponer un invariante descubierto en el marco de las álgebras en un invariante polinómico en el marco de la teoría de nudos. Desde entonces, este polinomio se ha generalizado de varias maneras.

La primera generalización, descubierta simultáneamente y de forma independiente por cuatro grupos de matemáticos, es el polinomio HOMFLY (iniciales de los autores), un polinomio en x, x-1, y, y-1, z, z-1. Su definición se basa en una relación análoga a la que existe entre el polinomio HOMFLY y el polinomio HOMFLY. Su definición se basa en una relación análoga a la de Conway: los polinomios de tres nodos N+, N- y N0 que difieren sólo en una intersección satisfacen :

Con la condición adicional de que el polinomio del nodo trivial sea: P(O)=1, el cálculo se realiza paso a paso hasta obtener círculos disjuntos.

Este polinomio tiene una serie de propiedades que simplifican los cálculos. Por ejemplo, si un nodo es el producto de dos nodos, su polinomio es el producto de sus polinomios. Además, tomar la imagen de un nudo en un espejo significa intercambiar x e y en su polinomio, lo que demuestra que los dos nudos de trébol no son equivalentes.

Mecánica estadística y nudos

La generalización de L.H. Kauffman utiliza el diagrama de un nudo, pero está en consonancia con ciertas ideas de la mecánica estadística, sobre las que conviene decir aquí unas palabras. Esta teoría se fundó para dar cuenta de sistemas muy grandes y su objetivo es deducir el comportamiento global de un sistema a partir del conocimiento local del estado de sus constituyentes. El elemento central es la función de partición del sistema Z=Σ e-βH(s), donde β=1/kT, donde H(s) representa la energía de un estado dado y donde la suma se refiere a todos los estados del sistema (si cada constituyente tiene 2 estados, hay 2n estados posibles del sistema). La probabilidad de que el sistema se encuentre en un estado s es entonces :

Basado en la experiencia de varios autores, mis opiniones, perspectivas y recomendaciones se expresarán a continuación (o en otros lugares de esta plataforma, respecto a las características en 2026 o antes, y el futuro de esta cuestión):

En principio, por tanto, podemos deducir de Z toda la información útil sobre el comportamiento del sistema.

En este marco, Ernst Ising propuso en 1925 un modelo de ferromagnetismo. Cuando se aplica un campo magnético, los espines se orientan; si el campo disminuye lentamente hasta 0 y la temperatura es lo suficientemente baja, queda una magnetización residual. Cuando se calienta, la agitación térmica hace que esta magnetización desaparezca a una determinada temperatura crítica Tc.

En el modelo de Ising, consideramos una población de n espines distribuidos en los vértices de una rejilla bidimensional, cada espín pudiendo estar en el estado -1 o +1, y suponemos sólo interacciones a corta distancia entre vecinos cercanos, lo que es muy simplificador. El problema consistía en averiguar si seguía produciéndose una transición de fase, es decir, una discontinuidad en el comportamiento de la red, lo que fue demostrado por Lars Onsager en 1941. Potts también estudió, siguiendo el mismo principio, modelos en los que cada sitio puede adoptar q estados.

Consideremos ahora un nodo. Kauffman comienza definiendo el “polinomio de gancho” del diagrama de nodos. Cada cruce define localmente cuatro regiones que Kauffman anota A o B de la siguiente manera: haciendo pivotar la hebra superior en el sentido directo desaparecerían dos regiones: se anotan A; las otras se anotan B. Un cruce puede eliminarse conectando las regiones A o las regiones B, lo que equivale a asignarle dos estados. El polinomio del gancho, con tres variables A, B y d, se define entonces a partir de las relaciones :

Se procede entonces paso a paso, como en el polinomio HOMFLY. Lo notable es que este polinomio también puede obtenerse observando directamente los distintos estados posibles del diagrama de K, que corresponden a distintas elecciones de enlaces A o B en cada cruce. Para cada estado S, sea a(S) el número de enlaces de tipo A, b(S) el número de enlaces de tipo b y c(S) el número de componentes.

El polinomio de gancho se escribe entonces se relaciona con la suma sobre todos los estados del nodo, igual que en mecánica estadística. Esto no es una coincidencia: Kauffman ha demostrado que, con un cambio de variables, este polinomio da exactamente la función de partición de un modelo de Potts para la red formada por las aristas y los vértices del diagrama de nodos, con cada vértice capaz de tomar q valores.

📬Si este tipo de historias es justo lo que buscas, y quieres recibir actualizaciones y mucho contenido que no creemos encuentres en otro lugar, suscríbete a este substack. Es gratis, y puedes cancelar tu suscripción cuando quieras:

Qué piensas de este contenido? Estamos muy interesados en conocer tu opinión sobre este texto, para mejorar nuestras publicaciones. Por favor, comparte tus sugerencias en los comentarios. Revisaremos cada uno, y los tendremos en cuenta para ofrecer una mejor experiencia.

Este polinomio gancho permite también recuperar otro polinomio, conocido desde hace varias décadas y vinculado, esta vez, al número de maneras de colorear los vértices del diagrama de nodos mediante q colores, con la condición de que dos vértices conectados por un arco sean de colores diferentes. También permite definir un nuevo invariante para los nodos y las cadenas planteando: f (K)=(-A3)t(K)[K], con el cambio de variables: B=A-1 y d=-A2 – A-2. El término corrector (-A3)t(K) es necesario para que f (K) sea invariante por el movimiento I de Reidemeister (que no es el caso para [K]). La cantidad t(K) es el número de giros del nodo: a cada cruce se le asigna el valor ±1 de acuerdo con los esquemas de la regla de Conway; t(K) es la suma de todos estos valores. Por último, las elecciones B=A-1 y d=-A2-A-2 garantizan la invariancia para los movimientos de tipo II y III.

Gracias a este polinomio, Kauffman y Murasugi pudieron demostrar ciertas conjeturas que se remontaban al siglo XIX. En concreto, si un nodo tiene un diagrama alterno, entonces no existe ningún diagrama con menos cruces.

Así pues, el descubrimiento de Jones, y los trabajos y generalizaciones que siguieron, no sólo resolvieron viejos problemas, sino que revelaron relaciones inesperadas entre campos tan distantes como la mecánica estadística, la coloración de grafos y, gracias a los trabajos de E. Witten, la teoría cuántica de campos. Sus trabajos valieron a V. Jones una de las cuatro Medallas Fields (la más alta distinción en matemáticas) concedidas en 1990.

Revisor de hechos: EJ

En Derecho Anglosajón

Hay información relativa a nudo en el derecho marítimo anglosajón en la siguiente entrada de la plataforma de derecho marítimo: nudo en inglés (Knot).

▷ Esperamos que haya sido de utilidad. Si conoces a alguien que pueda estar interesado en este tema, por favor comparte con él/ella este contenido. Es la mejor forma de ayudar al Proyecto Lawi.