Arquímedes

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Arquímedes

Arquímedes (nacido alrededor del 287 AEC, Siracusa, Sicilia [Italia], fallecido el 212/211 AEC, Siracusa), el matemático e inventor más famoso de la antigua Grecia. Arquímedes es especialmente importante por su descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y su cilindro circunferencial. Es conocido por su formulación de un principio hidrostático (conocido como el principio de Arquímedes) y un dispositivo para elevar el agua, todavía utilizado en los países en desarrollo, conocido como el tornillo de Arquímedes.

Su vida

Arquímedes probablemente pasó algún tiempo en Egipto al principio de su carrera, pero residió durante la mayor parte de su vida en Siracusa, la principal ciudad-estado griega en Sicilia, donde estaba en íntimos términos con su rey, Hieron II. Arquímedes publicó sus obras en forma de correspondencia con los principales matemáticos de su tiempo, incluyendo los eruditos alejandrinos Conón de Samos y Eratóstenes de Cirene. Desempeñó un papel importante en la defensa de Siracusa contra el asedio de los romanos en el 213 a.C. construyendo máquinas de guerra tan eficaces que retrasaron mucho tiempo la toma de la ciudad. Cuando Siracusa finalmente cayó ante el general romano Marco Claudio Marcelo en el otoño de 212 o la primavera de 211 AEC, Arquímedes fue asesinado en el saqueo de la ciudad.

Sobreviven muchos más detalles sobre la vida de Arquímedes que sobre cualquier otro científico antiguo, pero son en gran parte anecdóticos, reflejando la impresión que su genio mecánico causó en la imaginación popular. Así, se le atribuye la invención del tornillo de Arquímedes, y se supone que hizo dos “esferas” que Marcelo llevó a Roma – una un globo estelar y la otra un dispositivo (cuyos detalles son inciertos) para representar mecánicamente los movimientos del Sol, la Luna y los planetas. La historia de que determinó la proporción de oro y plata en una corona hecha para Hierón pesándola en el agua es probablemente cierta, pero la versión que lo tiene saltando de la bañera en la que supuestamente tuvo la idea y corriendo desnudo por las calles gritando “Heurēka!” (“¡La he encontrado!”) es un adorno popular. Igualmente apócrifas son las historias de que utilizó una enorme cantidad de espejos para quemar las naves romanas que asediaban Siracusa; de que dijo: “Dadme un lugar para pararme y moveré la Tierra”; y de que un soldado romano lo mató porque se negó a abandonar sus diagramas matemáticos -aunque todos son reflejos populares de su verdadero interés por la catóptica (la rama de la óptica que se ocupa de la reflexión de la luz de los espejos, planos o curvos), la mecánica y las matemáticas puras.

Según Plutarco (c. 46-119 d.C.), Arquímedes tenía tan poca opinión del tipo de invento práctico en el que sobresalía y al que debía su fama contemporánea, que no dejó ningún trabajo escrito sobre tales temas. Si bien es cierto que -aparte de una dudosa referencia a un tratado, “Sobre la fabricación de esferas”- todas sus obras conocidas eran de carácter teórico, su interés por la mecánica sin embargo influyó profundamente en su pensamiento matemático. No sólo escribió obras sobre mecánica teórica e hidrostática, sino que su tratado “Método relativo a los teoremas mecánicos” muestra que utilizó el razonamiento mecánico como un dispositivo heurístico (aprender del descubrimiento, y la experimentación; a veces se utiliza un concepto abstracto) para el descubrimiento de nuevos teoremas matemáticos.

Sus obras

Hay nueve tratados existentes de Arquímedes en griego. Los resultados principales en Sobre la esfera y el cilindro (en dos libros) son que la superficie de cualquier esfera de radio r es cuatro veces la de su mayor círculo (en notación moderna, S = 4πr2) y que el volumen de una esfera es dos tercios del cilindro en el que está inscrita (lo que lleva inmediatamente a la fórmula del volumen, V = 4/3πr3). Arquímedes estaba lo suficientemente orgulloso de este último descubrimiento como para dejar instrucciones para que su tumba fuera marcada con una esfera inscrita en un cilindro. Marco Tulio Cicerón (106-43 AEC) encontró la tumba, cubierta de vegetación, un siglo y medio después de la muerte de Arquímedes.

La medida del círculo es un fragmento de una obra más larga en la que π (pi), la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo, se muestra entre los límites de 3 10/71 y 3 1/7. El enfoque de Arquímedes para determinar π, que consiste en inscribir y circunscribir polígonos regulares con un gran número de lados, fue seguido por todos hasta el desarrollo de expansiones en serie infinita en la India durante el siglo XV y en Europa durante el siglo XVII. Esa obra también contiene aproximaciones exactas (expresadas como proporciones de números enteros) a las raíces cuadradas de 3 y varios números grandes.

En Conoides y Esferoides se trata de determinar los volúmenes de los segmentos de sólidos formados por la revolución de una sección cónica (círculo, elipse, parábola o hipérbola) en torno a su eje.Entre las Líneas En términos modernos, esos son problemas de integración. (Tal vez sea de interés más investigación sobre el concepto). (Ver cálculo.) En Espirales se desarrollan muchas propiedades de las tangentes y áreas asociadas a la espiral de Arquímedes, es decir, el lugar de un punto que se mueve con velocidad uniforme a lo largo de una línea recta que a su vez gira con velocidad uniforme alrededor de un punto fijo. Era una de las pocas curvas más allá de la línea recta y las secciones cónicas conocidas en la antigüedad.

En el Equilibrio de los Planos (o Centros de Gravedad de los Planos; en dos libros) se ocupa principalmente de establecer los centros de gravedad de varias figuras planas rectilíneas y segmentos de la parábola y el paraboloide. El primer libro pretende establecer la “ley de la palanca” (equilibrio de las magnitudes a distancias del fulcro en proporción inversa a sus pesos), y es principalmente sobre la base de ese tratado que Arquímedes ha sido llamado el fundador de la mecánica teórica. Gran parte de ese libro, sin embargo, no es indudablemente auténtico, ya que consiste en ineptas adiciones o reelaboraciones posteriores, y parece probable que el principio básico de la ley de la palanca y -posiblemente- el concepto de centro de gravedad fueron establecidos sobre una base matemática por estudiosos anteriores a Arquímedes. Su contribución fue más bien extender esos conceptos a las secciones cónicas.

La cuadratura de la parábola demuestra, primero por medios “mecánicos” (como en el Método, que se examina más adelante) y luego por métodos geométricos convencionales, que el área de cualquier segmento de una parábola es 4/3 del área del triángulo que tiene la misma base y altura que ese segmento. Esto es, de nuevo, un problema de integración.

El Sand-Reckoner es un pequeño tratado que es un jeu d’esprit escrito para el lego -está dirigido a Gelón, hijo de Hieron- que sin embargo contiene algunas matemáticas profundamente originales. Su objetivo es remediar las insuficiencias del sistema de notación numérica griego mostrando cómo expresar un número enorme, el número de granos de arena que se necesitaría para llenar todo el universo. Lo que Arquímedes hace, en efecto, es crear un sistema de notación de valores espaciales, con una base de 100.000.000. (Esa fue aparentemente una idea completamente original, ya que no tenía conocimiento del sistema babilónico contemporáneo de valores espaciales con base 60.) El trabajo también es interesante porque da la descripción más detallada que se conserva del sistema heliocéntrico de Aristarco de Samos (c. 310-230 AEC) y porque contiene un relato de un ingenioso procedimiento que Arquímedes usó para determinar el diámetro aparente del Sol mediante la observación con un instrumento.

El Método Relativo a los Teoremas Mecánicos describe un proceso de descubrimiento en matemáticas. Es el único trabajo que ha sobrevivido desde la antigüedad, y uno de los pocos de cualquier período, que trata de este tema.Entre las Líneas En ella Arquímedes relata cómo utilizó un método “mecánico” para llegar a algunos de sus descubrimientos clave, incluyendo el área de un segmento parabólico y el área de superficie y volumen de una esfera. La técnica consiste en dividir cada una de las dos figuras en un número infinito pero igual de tiras infinitesimalmente finas, y luego “pesar” cada par correspondiente de estas tiras entre sí en una balanza teórica para obtener la proporción de las dos figuras originales. Arquímedes subraya que, aunque útil como método heurístico, este procedimiento no constituye una prueba rigurosa.

En Cuerpos Flotantes (en dos libros) sobrevive sólo en parte en griego, el resto en traducción latina medieval del griego. Es el primer trabajo conocido sobre la hidrostática, del que Arquímedes es reconocido como el fundador. Su propósito es determinar las posiciones que varios sólidos asumirán al flotar en un fluido, según su forma y la variación de sus gravedades específicas.Entre las Líneas En el primer libro se establecen varios principios generales, en particular lo que se ha dado en llamar el principio de Arquímedes: un sólido más denso que un fluido será, cuando se sumerja en ese fluido, más ligero por el peso del fluido que desplaza. El segundo libro es un tour de force matemático sin igual en la antigüedad y raramente igualado desde entonces.Entre las Líneas En él Arquímedes determina las diferentes posiciones de estabilidad que asume un paraboloide derecho de revolución al flotar en un fluido de mayor gravedad específica, según las variaciones geométricas e hidrostáticas.

Se sabe que Arquímedes, a partir de referencias de autores posteriores, ha escrito una serie de otras obras que no han sobrevivido. Son de particular interés los tratados sobre catoptricidad, en los que aborda, entre otras cosas, el fenómeno de la refracción; sobre los 13 poliedros semirregulares (Arquímedes) (los cuerpos delimitados por polígonos regulares, no necesariamente todos del mismo tipo, que pueden inscribirse en una esfera); y el “Problema del ganado” (conservado en un epigrama griego), que plantea un problema de análisis indeterminado, con ocho incógnitas.

Observación

Además de éstas, se conservan varias obras en traducción árabe atribuidas a Arquímedes que no pueden haber sido compuestas por él en su forma actual, aunque pueden contener elementos “arquimedianos”. Entre ellas figuran una obra sobre la inscripción del heptágono regular en un círculo; una colección de lemas (proposiciones supuestamente verdaderas que se utilizan para probar un teorema) y un libro, On Touching Circles (Sobre los círculos que se tocan), ambos relacionados con la geometría del plano elemental; y el Stomachion (del que también se conservan partes en griego), que trata de un cuadrado dividido en 14 piezas para un juego o rompecabezas.

Las pruebas matemáticas y la presentación de Arquímedes muestran una gran audacia y originalidad de pensamiento por un lado y un rigor extremo por el otro, cumpliendo con los más altos estándares de la geometría contemporánea. Mientras que el Método muestra que llegó a las fórmulas para la superficie y el volumen de una esfera por razonamiento “mecánico” que involucra a los infinitesimales, en sus pruebas reales de los resultados en Esfera y Cilindro sólo utiliza los rigurosos métodos de aproximación finita sucesiva que habían sido inventados por Eudoxus de Cnidus en el siglo IV a.C. Estos métodos, de los que Arquímedes era un maestro, son el procedimiento estándar en todos sus trabajos sobre geometría superior que tratan de probar resultados sobre áreas y volúmenes. Su rigor matemático contrasta fuertemente con las “pruebas” de los primeros practicantes del cálculo integral en el siglo XVII, cuando se reintrodujeron los infinitesimales en las matemáticas.

Puntualización

Sin embargo, los resultados de Arquímedes no son menos impresionantes que los suyos. La misma libertad de las formas de pensamiento convencionales es evidente en el campo aritmético en Sand-Reckoner, que muestra una profunda comprensión de la naturaleza del sistema numérico.

Basado en la experiencia de varios autores, mis opiniones, perspectivas y recomendaciones se expresarán a continuación (o en otros lugares de esta plataforma, respecto a las características en 2026 o antes, y el futuro de esta cuestión):

En la antigüedad Arquímedes también fue conocido como un destacado astrónomo: sus observaciones de los solsticios fueron utilizadas por Hiparco (floreciente c. 140 AEC), el principal astrónomo antiguo. Se sabe muy poco de este lado de la actividad de Arquímedes, aunque Sand-Reckoner revela su agudo interés astronómico y su capacidad de observación práctica.

Puntualización

Sin embargo, se le han atribuido una serie de números que indican las distancias de los diversos cuerpos celestes a la Tierra, que se ha demostrado que no se basan en datos astronómicos observados sino en una teoría “pitagórica” que asocia los intervalos espaciales entre los planetas con intervalos musicales. Aunque es sorprendente encontrar esas especulaciones metafísicas en el trabajo de un astrónomo practicante, hay buenas razones para creer que su atribución a Arquímedes es correcta.

Su influencia
Dada la magnitud y la originalidad de los logros de Arquímedes, la influencia de sus matemáticas en la antigüedad fue bastante pequeña. Aquellos de sus resultados que podían expresarse de manera sencilla -como las fórmulas para la superficie y el volumen de una esfera- se convirtieron en lugares comunes de las matemáticas, y uno de los límites que estableció para π, 22/7, se adoptó como la aproximación habitual a ella en la antigüedad y la Edad Media. [rtbs name=”historia-medieval”] Sin embargo, su trabajo matemático no continuó ni se desarrolló, por lo que se sabe, de manera importante en la antigüedad, a pesar de su esperanza expresada en el Método de que su publicación permitiera a otros hacer nuevos descubrimientos.

Puntualización

Sin embargo, cuando algunos de sus tratados fueron traducidos al árabe a finales del siglo VIII o IX, varios matemáticos del Islam medieval se inspiraron para igualar o mejorar sus logros. Esto se aplica particularmente a la determinación de los volúmenes de sólidos de la revolución, pero su influencia también es evidente en la determinación de los centros de gravedad y en los problemas de construcción geométrica. Así, varios trabajos meritorios de matemáticos islámicos medievales se inspiraron en su estudio de Arquímedes.

El mayor impacto del trabajo de Arquímedes en los matemáticos posteriores se produjo en los siglos XVI y XVII con la impresión de textos derivados del griego, y finalmente del propio texto griego, la Editio Princeps, en Basilea en 1544. La traducción al latín de muchas de las obras de Arquímedes por Federico Commandino en 1558 contribuyó en gran medida a la difusión de su conocimiento, lo que se reflejó en la labor de los más destacados matemáticos y físicos de la época, entre ellos Johannes Kepler (1571-1630) y Galileo Galilei (1564-1642). La edición de David Rivault y la traducción al latín (1615) de las obras completas, incluidos los antiguos comentarios, influyó enormemente en la obra de algunos de los mejores matemáticos del siglo XVII, en particular René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-65). Sin los antecedentes de los antiguos matemáticos redescubiertos, entre los cuales Arquímedes fue primordial, el desarrollo de las matemáticas en Europa en el siglo entre 1550 y 1650 es inconcebible. Es lamentable que el Método siguiera siendo desconocido tanto para los matemáticos árabes como para los del Renacimiento (sólo fue redescubierto a finales del siglo XIX), ya que podrían haber cumplido la esperanza de Arquímedes de que la obra resultara útil para el descubrimiento de los teoremas.

Datos verificados por: Brite
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Recursos

Traducción al Inglés

Traducción al inglés de Arquímedes: Archimedes.

Véase También

Bibliografía

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