Logaritmo

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Logaritmo en Matemáticas

Inventados en el siglo XVII para acelerar los cálculos, los logaritmos redujeron enormemente el tiempo necesario para multiplicar números con muchas cifras (examine más sobre todos estos aspectos en la presente plataforma online de ciencias sociales y humanidades). Fueron básicos en el trabajo numérico durante más de 300 años, hasta que el perfeccionamiento de las máquinas de calcular mecánicas a finales del siglo XIX y los ordenadores en el siglo XX los dejaron obsoletos para los cálculos a gran escala. El logaritmo natural (con base e ≅ 2,71828 y escrito ln n), sin embargo, sigue siendo una de las funciones más útiles de las matemáticas, con aplicaciones a modelos matemáticos en todas las ciencias físicas y biológicas.

Propiedades de los logaritmos

Los científicos adoptaron rápidamente los logaritmos debido a varias propiedades útiles que simplificaban los cálculos largos y tediosos.Entre las Líneas En particular, los científicos podían encontrar el producto de dos números m y n buscando el logaritmo de cada número en una tabla especial, sumando los logaritmos y consultando de nuevo la tabla para encontrar el número con ese logaritmo calculado (conocido como su antilogaritmo). Expresada en términos de logaritmos comunes, esta relación viene dada por log mn = log m + log n. Por ejemplo, 100 × 1.000 puede calcularse buscando los logaritmos de 100 (2) y 1.000 (3), sumando los logaritmos (5) y encontrando luego su antilogaritmo (100.000) en la tabla. Del mismo modo, los problemas de división se convierten en problemas de resta con logaritmos: log m/n = log m – log n. Esto no es todo; el cálculo de potencias y raíces puede simplificarse con el uso de logaritmos. Los logaritmos también se pueden convertir entre cualquier base positiva (excepto que el 1 no se puede utilizar como base ya que todas sus potencias son iguales a 1.

En las tablas de logaritmos sólo se suelen incluir los logaritmos de los números entre 0 y 10. Para obtener el logaritmo de algún número fuera de este rango, el número se escribía primero en notación científica como el producto de sus dígitos significativos y su potencia exponencial -por ejemplo, 358 se escribiría como 3,58 × 102, y 0,0046 se escribiría como 4,6 × 10-3. Entonces, el logaritmo de los dígitos significativos -una fracción decimal entre 0 y 1, conocida como mantisa- se encontraría en una tabla. Por ejemplo, para encontrar el logaritmo de 358, se buscaría log 3,58 ≅ 0,55388. Por tanto, log 358 = log 3,58 + log 100 = 0,55388 + 2 = 2,55388.Entre las Líneas En el ejemplo de un número con exponente negativo, como 0,0046, se buscaría log 4,6 ≅ 0,66276. Por tanto, log 0,0046 = log 4,6 + log 0,001 = 0,66276 – 3 = -2,33724.

Historia de los logaritmos

La invención de los logaritmos fue presagiada por la comparación de las secuencias aritméticas y geométricas.Entre las Líneas En 1620, el matemático suizo Joost Bürgi publicó en Praga la primera tabla basada en el concepto de relacionar secuencias geométricas y aritméticas.

El matemático escocés John Napier publicó su descubrimiento de los logaritmos en 1614. Su propósito era ayudar en la multiplicación de las cantidades que entonces se llamaban senos. El seno entero era el valor del lado de un triángulo rectángulo con una hipotenusa grande. (La hipotenusa original de Napier era de 107.) Su definición se daba en términos de tasas relativas.

El logaritmo, por lo tanto, de cualquier seno es un número que expresa de forma muy neta la línea que aumentó por igual en el tiempo meene mientras que la línea del seno entero disminuyó proporcionalmente en ese seno, siendo ambos movimientos de igual tiempo y el comienzo de igual desplazamiento.

En colaboración con el matemático inglés Henry Briggs, Napier ajustó su logaritmo a su forma moderna. Para el logaritmo napieriano la comparación sería entre puntos que se mueven en una línea recta graduada, el punto L (para el logaritmo) moviéndose uniformemente de menos infinito a más infinito, el punto X (para el seno) moviéndose de cero a infinito a una velocidad proporcional a su distancia de cero. Además, L es cero cuando X es uno y su velocidad es igual en este punto. La esencia del descubrimiento de Napier es que esto constituye una generalización de la relación entre las series aritméticas y geométricas; es decir, la multiplicación y la elevación a una potencia de los valores del punto X corresponden a la suma y la multiplicación de los valores del punto L, respectivamente.Entre las Líneas En la práctica, es conveniente limitar el movimiento de L y X mediante el requisito de que L = 1 en X = 10, además de la condición de que X = 1 en L = 0. Este cambio produjo el logaritmo briggsiano, o común.

Napier murió en 1617 y Briggs continuó solo, publicando en 1624 una tabla de logaritmos calculados con 14 decimales para números de 1 a 20.000 y de 90.000 a 100.000.Entre las Líneas En 1628 el editor holandés Adriaan Vlacq sacó una tabla de 10 posiciones para los valores de 1 a 100.000, añadiendo los 70.000 valores que faltaban. Tanto Briggs como Vlacq se dedicaron a establecer tablas trigonométricas logarítmicas. Estas primeras tablas eran de una centésima de grado o de un minuto de arco.Entre las Líneas En el siglo XVIII, se publicaron tablas para intervalos de 10 segundos, que eran convenientes para las tablas de siete decimales.Entre las Líneas En general, se requieren intervalos más finos para calcular funciones logarítmicas de números más pequeños, por ejemplo, en el cálculo de las funciones log sen x y log tan x.

La disponibilidad de los logaritmos influyó mucho en la forma de la trigonometría plana y esférica. Los procedimientos de la trigonometría se refundieron para producir fórmulas en las que las operaciones que dependen de los logaritmos se realizan de una sola vez. El recurso a las tablas consistía entonces en sólo dos pasos, la obtención de logaritmos y, tras realizar cálculos con los logaritmos, la obtención de antilogaritmos.

Historia de las computadoras y las calculadoras analógicas: de los logaritmos de Napier a la regla de cálculo

Los dispositivos de cálculo tomaron un giro diferente cuando John Napier, un matemático escocés, publicó su descubrimiento de los logaritmos en 1614. Como cualquier persona puede atestiguar, sumar dos números de 10 cifras es mucho más sencillo que multiplicarlos, y la transformación de un problema de multiplicación en un problema de suma es precisamente lo que permiten los logaritmos. Esta simplificación es posible gracias a la siguiente propiedad logarítmica: el logaritmo del producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de los números.Entre las Líneas En 1624, se disponía de tablas con 14 cifras significativas para los logaritmos de los números de 1 a 20.000, y los científicos adoptaron rápidamente esta nueva herramienta que ahorraba trabajo para los tediosos cálculos astronómicos.

Basado en la experiencia de varios autores, mis opiniones, perspectivas y recomendaciones se expresarán a continuación (o en otros lugares de esta plataforma, respecto a las características en 2026 o antes, y el futuro de esta cuestión):

Lo más significativo para el desarrollo de la informática fue que la transformación de la multiplicación en adición simplificó enormemente la posibilidad de mecanización. Pronto aparecieron dispositivos de cálculo analógicos basados en los logaritmos de Napier, que representaban valores digitales con longitudes físicas análogas.Entre las Líneas En 1620, Edmund Gunter, el matemático inglés que acuñó los términos coseno y cotangente, construyó un dispositivo para realizar cálculos de navegación: la escala Gunter o, como la llamaban los navegantes, el gunter. Hacia 1632, un clérigo y matemático inglés llamado William Oughtred construyó la primera regla de cálculo, basándose en las ideas de Napier. Esa primera regla de cálculo era circular, pero Oughtred también construyó la primera rectangular en 1633.

Informaciones

Los dispositivos analógicos de Gunter y Oughtred tenían varias ventajas y desventajas en comparación con los dispositivos digitales, como el ábaco. Lo importante es que las consecuencias de estas decisiones de diseño se ponían a prueba en el mundo real.

Datos verificados por: Brite
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Recursos

Traducción al Inglés

Traducción al inglés de Logaritmo: Logarithm

Véase También

Bibliografía

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