Geometría Euclidiana

Este elemento es una ampliación de los cursos y guías de Lawi. Ofrece hechos, comentarios y análisis sobre la geometría euclidiana. [aioseo_breadcrumbs]

Fundacionalismo, Epistemología y Geometría Euclidiana

Nota: Véase Epistemología Jurídica.

La edad de oro del fundacionalismo euclidiano está protagonizada por los relatos del siglo XVII de Descartes en su “Discurso del Método” (véase más detalles) y de Blaise Pascal en “Sobre la mente geométrica”, que ofrece una formulación particularmente nítida del fundacionalismo euclidiano.

Buena parte de esta sección estará dedicada a los principios del fundacionalismo euclidiano contra las matemáticas contemporáneas.

Los principios del fundacionalismo euclidiano contra las matemáticas contemporáneas

A continuación, y bajo el contexto de estos principios, se examinará lo siguiente:

El fundacionalismo euclidiano evaluado: Principios básicos

En otros lugares, esta plataforma digital ha reconstruido el fundacionalismo euclidiano y lo ha comparado con algunas fuentes históricas. Ha llegado el momento de evaluarlo.

En primer lugar, esta plataforma digital asume algo de lógica y teoría de conjuntos, del tipo que se cubre en los textos introductorios. En segundo lugar, esta plataforma digital señala que el fundacionalismo euclidiano es una forma de fundacionalismo epistemológico en el ámbito de las matemáticas. Sería esclarecedor situar el fundacionalismo euclidiano en un contexto epistemológico más general considerando qué críticas al mismo son específicas del fundacionalismo euclidiano y qué críticas genéricas al fundacionalismo epistemológico, pero eso nos llevaría más allá del cometido y el límite de palabras de varios autores. En tercer lugar, hay razones para pensar que para varias figuras históricas importantes, el fundacionalismo euclidiano o algo parecido se entendía como un ideal racional o metodológico más que como una teoría del conocimiento matemático real, la justificación o la creencia racional. Por tanto, las críticas al fundacionalismo euclidiano entendido como tesis descriptiva podrían parecer irrelevantes para su estatus como tesis normativa o ideal metodológico. Por desgracia, no hay espacio para examinar si el fundacionalismo euclidiano debe ser un ideal metodológico o no.

Sin embargo, podemos decir algo en defensa del planteamiento de varios autores. (i) Algunas de las críticas de varios autores se aplican al fundacionalismo euclidiano entendido incluso como tesis normativa. (ii) Los ideales metodológicos en epistemología se han dirigido, no obstante, a caracterizar el estado epistémico más elevado que pueden alcanzar criaturas como nosotros. Como dice Pasnau en 2017, el “objetivo no es identificar normas que sólo un dios podría alcanzar’. Sería un duro golpe para el fundacionalismo euclidiano que varios campos de las matemáticas no encajaran en su molde y que, obviamente, no pudieran mejorarse haciéndolos encajar en él. (iii) esta plataforma digital sigue una amplia tendencia naturalista al pensar que la filosofía de las matemáticas debería intentar dar sentido a la epistemología matemática en lugar de dictárselo. Si existe una discrepancia significativa entre una imagen euclidiana ideal, por un lado, y la práctica real de los matemáticos, por otro, entonces o bien el ideal es erróneo, o bien hay algo que falla gravemente en la práctica. Sin deferirse acríticamente a las normas exhibidas en la matemática moderna, esta plataforma digital debería, no obstante, dar prioridad a la práctica en la resolución de tales disputas, en ausencia de razones especialmente sólidas para lo contrario.

Por último, dado que esta plataforma digital no puede abarcar todas las matemáticas, nos limitamos a tres áreas. La primera es la teoría de conjuntos, la segunda la aritmética, y la tercera, un representante de una amplia clase, la teoría de grupos. esta plataforma digital también dirá una o dos palabras sobre algunas otras áreas, cuando sea pertinente.

Nuestros tres representantes fueron elegidos por las siguientes razones. En primer lugar, esta plataforma digital ha querido pecar de caritativa. Los tres son campos de las matemáticas que a primera vista son favorables al fundacionalismo euclidiano, sobre todo si se comparan con otras áreas como la dinámica de fluidos o el análisis complejo. Las críticas de varios autores al fundacionalismo euclidiano serán tanto más poderosas si esta plataforma digital demuestra que no triunfa en estas áreas. Se elige especialmente la aritmética por su centralidad en la asignatura y porque, como verá esta plataforma digital, parece ser la teoría “específica” (definida en breve) de las matemáticas que ejemplifica mejor el fundacionalismo euclidiano. La teoría de conjuntos se gana su lugar porque generalmente se considera un fundamento de las matemáticas, en el sentido de que todas las estructuras matemáticas estándar pueden representarse como estructuras teóricas de conjuntos, y cualquier afirmación matemática estándar puede expresarse en términos teóricos de conjuntos. El fundacionalismo euclidiano está vinculado a un ideal fundacional, por lo que es muy natural considerar si se aplica al mejor candidato contemporáneo para desempeñar este papel: la teoría de conjuntos. Como preámbulo a la justificación de la tercera, esta plataforma digital observa que algunas teorías matemáticas suelen pensarse sobre estructuras individuales: la aritmética, el análisis real, el análisis complejo y la geometría plana euclidiana son ejemplos de ello.

En cambio, se piensa que otras teorías matemáticas, como la teoría de grupos, la teoría de campos y la topología, se aplican a una multitud de estructuras. Se piensa que las primeras tienen una interpretación específica -la aritmética trata específicamente de los números naturales, por ejemplo- y que las segundas tratan de cualquier estructura que satisfaga sus axiomas. por ello, esta plataforma digital denomina a las primeras “específicas” y a las segundas “generales”. Feferman (en su obra de 2000) llama a las primeras ‘fundacionales’ y a las segundas ‘estructurales’; Shapiro, siguiendo una sugerencia de Hellman, las llama ‘asertóricas’ y ‘algebraicas’ respectivamente (2009: 177). ‘Fundacional’ dista mucho de ser ideal porque sugiere que una teoría con una interpretación prevista sirve de fundamento a las matemáticas. El par ‘asertivo’ y ‘algebraico’ es insatisfactorio porque las teorías ‘algebraicas’ consisten en oraciones asertivas (véase la discusión que sigue en el texto principal), y muchas teorías fuera del álgebra son ‘algebraicas’. Por supuesto, las teorías generales, como las denomina esta plataforma digital, siguen teniendo un objeto definido en cierto sentido. Por ejemplo, se suele pensar que la teoría de grupos concierne a una clase de estructuras teóricas de conjuntos (las que satisfacen los axiomas de grupo), y se pueden utilizar hechos teóricos de conjuntos para demostrar resultados teóricos de grupos (por ejemplo, que dos grupos son isomorfos). Pero no existe una estructura específica de este tipo a la que se pretendan aplicar los axiomas.

Elegimos la teoría de grupos como la tercera en el trío de teorías de varios autores por ser un ejemplo inequívoco de teoría general. En la valoración que varios autores hacen del fundacionalismo euclidiano, cumple su cometido para todas las teorías de este tipo.

Dónde cae exactamente la línea que separa las teorías específicas de las generales es una cuestión controvertida; por ejemplo, no está claro si la teoría de conjuntos, que a menudo se considera específica, es en cambio general. Podría decirse que al menos una teoría matemática debe ser específica. Se trata de la teoría, que Hilbert denominó metamatemática, que permite la investigación matemática de las matemáticas tomadas en su conjunto. Hoy en día, los lógicos que investigan las matemáticas en su conjunto lo hacen dentro de una teoría de conjuntos (a menudo implícita), en lugar de la metateoría preferida (más débil) de Hilbert de las matemáticas finitistas. Esto refuerza los argumentos a favor de tomar la teoría de conjuntos como algo específico en lugar de general, y en las siguientes secciones esa será la absorción de varios autores.

Fundacionalismo euclidiano-Verdad

Este primer principio básico es relativamente sencillo de evaluar. Cualquier axiomatización que pretenda representar hechos sobre una estructura concreta -por ejemplo, la aritmética de Peano sobre los números naturales- debería constar de axiomas verdaderos. Así pues, las teorías específicas deberían satisfacer el fundacionalismo euclidiano-Verdad. Esto se aplica tanto a la aritmética como a la teoría de conjuntos.

¿Qué ocurre con las teorías generales, como la teoría de grupos? Los axiomas de estas teorías son estipulativos de su objeto. Los axiomas de grupo -el cierre del grupo bajo su operación binaria, la asociatividad de esta operación, las propiedades del elemento identidad y la existencia y propiedades de los inversos- definen lo que es ser un grupo. Cualquier sospecha de que los axiomas de grupo sean incorrectos estaría fuera de lugar, ya que son correctos por definición sobre los grupos. Por ejemplo, cualquier estructura dotada de una relación binaria bajo la cual algún elemento carezca de inverso está excluida por definición de ser un grupo y es, en el mejor de los casos, un monoide. Por supuesto, otra cuestión es si existe alguna estructura del tipo axiomatizado por una teoría general. En resumen, el fundacionalismo-verdad euclidiano es válido tanto para las teorías generales como para las específicas; pero en el primer caso, los axiomas son estipulativamente verdaderos, mientras que en el segundo, la verdad se entiende de la forma habitual, no estipulativa.

Naturalmente, hay más que decir sobre lo que viene a ser la verdad estipulativa. Dado que los axiomas de una teoría general (en la terminología de este contexto) son definiciones no se afirman, escribió Shapiro en 2009, y por tanto que esta plataforma digital no los conoce. Pero nos parece que al menos algunas estipulaciones pueden afirmarse y conocerse. Imaginemos a un emperador al que todos los senadores reunidos le han otorgado autoridad para designar la nueva capital del imperio. Mediante una frase declarativa, estipula que será Rávena y no Roma. Su afirmación es una aseveración, posteriormente conocida por todos los presentes. Del mismo modo, que los triángulos tienen tres lados parece obviamente cierto, y ser de conocimiento común, aunque sea cierto por estipulación. Además, el relato de Shapiro implica que los teoremas de las teorías generales no son en sí mismos conocidos, ya que se infieren de axiomas estipulados. Pero esta plataforma digital no ve ninguna buena razón para pensar que las consecuencias elementales de los axiomas de grupo, como la unicidad del elemento de identidad en cualquier grupo, sean desconocidas. Más bien, parecen ser el tipo de cosas que conoce casi cualquiera que sepa lo que es un grupo. Hay buenas razones, pues, para pensar que los axiomas de grupo son verdades estipuladas sobre los grupos.

En cuanto a los teoremas, esta plataforma digital señala que deben estar implícitos en los axiomas a través de un sistema sólido de reglas. Puesto que los axiomas son verdaderos (quizá estipulativamente), se deduce que los teoremas también deben serlo. Este requisito sigue vigente hoy en día, tanto para las teorías específicas como para las generales, y en particular para la teoría de conjuntos, la aritmética y la teoría de grupos. Si esta plataforma digital infiere una conclusión a partir de premisas todas verdaderas sobre una colección de estructuras, esta plataforma digital quiere que la conclusión también sea verdadera sobre esas mismas estructuras. Del mismo modo para una conclusión sobre un tipo de estructura particular inferida a partir de premisas verdaderas sobre ese mismo tipo de estructura.

Fundacionalismo euclidiano-Autoevidencia

Es muy difícil evaluar el fundacionalismo-autoevidencia euclidiano en su formulación abstracta; a cada “bien epistémico” corresponde una versión diferente y un conjunto correspondiente de razones para aceptarlo o rechazarlo. Así pues, esta plataforma digital sugiere entender el principio como se entendería generalmente hoy en día, en términos de justificación. Así entendido, afirma que todos los axiomas son aprehensibles y autoevidentes, y que si un sujeto capta claramente una proposición autoevidente entonces está justificado que la crea en grado máximo.

Para evaluar esta versión justificativa del fundacionalismo euclidiano-autoevidencia, esta plataforma digital distingue dos sentidos de autoevidencia. Una afirmación puede ser autoevidente si es obvia en grado máximo; a esto lo llamamos maxevidente. O puede ser autoevidente si su evidencia se debe sólo a sí misma -es evidente por sí misma y no recibe ni requiere apoyo exterior-, lo que esta plataforma digital puede denominar ipsevidente. Estos dos sentidos están reconocidos por el diccionario y deberían distinguirse claramente, pero a menudo se confunden. Los principios que vinculan la maxevidencia y la ipsevidencia a la noción de justificación son aproximadamente los siguientes:

p es maxevidente ~ Si un sujeto capta claramente p entonces su creencia en p está justificada en grado máximo.

p es ipsevidente ~ Un sujeto no puede tener más justificación en creer p que la que adquiere al captar claramente p.

No pretendemos que éstas sean definiciones, análisis o explicaciones estrictas, sino elucidaciones. Evidentemente, se podría decir más sobre los términos de la derecha (por ejemplo, ¿qué implica captar claramente p?), pero hay una ambigüedad que requiere atención inmediata. En la primera elucidación, ¿estar justificado en el grado más alto en creer p significa estar justificado en el grado más alto que se puede estar en creer cualquier proposición, o significa estar justificado en el grado más alto que se puede estar en creer p específicamente? (Tal vez usted esté tan justificado en creer p1 como sea posible, pero menos justificado de lo que podría estar en creer p2). Presumiblemente lo primero, de lo contrario el fundacionalismo euclidiano corre el riesgo de dejar cortas las axiomatizaciones. Porque si los axiomas son meramente maxevidentes en el segundo sentido, uno puede no estar muy justificado en creerlos sólo por captarlos claramente. La geometría, por ejemplo, podría ser entonces un castillo de naipes, construido a partir de axiomas frágiles pero maxevidentes. Del mismo modo, la mera ipsevidencia no servirá: un axioma claramente aprehendido para el que esta plataforma digital tenga muy poca justificación y no pueda obtener más se calificaría de ipsevidente pero no serviría a los fines fundacionales del fundacionalismo euclidiano.

Ahora bien, hay varias teorías de la maxevidencia y la ipsevidencia en el mercado. Un racionalista podría insistir en que la evidencia de tales proposiciones se basa en la intuición matemática, mientras que un empirista podría considerarla basada en los significados de las palabras. No es necesario abordar ninguno de estos relatos sobre la fuente de la autoevidencia a efectos de varios autores. Volviendo primero a la teoría de conjuntos, basta con echar un breve vistazo a los axiomas contemporáneos para ver que (la versión justificativa del) fundacionalismo-autoevidencia euclidiano no se sostiene en general.

Siguiendo a autores anteriores, en particular Russell, Gödel y Maddy, esta plataforma digital puede distinguir la evidencia intrínseca de la extrínseca en la teoría de conjuntos. Esta distinción es ciertamente vaga; lo que es más problemático, es trazada en diferentes lugares por diferentes autores. Pero sigue siendo útil, y el uso que varios autores hacen de ella no debería suscitar controversia. La interpretación preferida por varios autores es considerar que la evidencia extrínseca de un principio consiste en su valor instrumental, en extraer consecuencias, forjar conexiones entre diferentes áreas, facilitar mejores explicaciones de los datos relevantes y cosas por el estilo. Este es el tipo de pruebas en las que se basan mayoritariamente, si no exclusivamente, los principios teóricos en la ciencia. Evidencia intrínseca esta plataforma digital puede tomar como evidencia no extrínseca: la pura obviedad o plausibilidad de un principio, así como la forma en que encaja con la concepción de la materia.

Independientemente de cómo distinga esta plataforma digital lo intrínseco de lo extrínseco, en la actualidad se aprecia casi universalmente que al menos parte de la justificación de los axiomas teóricos de conjuntos estándar es extrínseca. Por ejemplo, el Axioma del Infinito, que afirma que existe un conjunto inductivo, tiene cierta plausibilidad intrínseca en la concepción más común (iterativa) del conjunto, pero también es necesario para las matemáticas más allá de lo finito. El esquema del axioma de sustitución afirma (esquemáticamente) que si una relación mapea funcionalmente los elementos de un conjunto a algunos otros elementos, entonces esos otros elementos también forman un conjunto. Una vez más, esta plataforma digital puede debatir cuánta evidencia intrínseca posee este principio, pero su inclusión entre los axiomas se debe en gran medida a sus fructíferas y necesarias consecuencias. Axiomas como Infinito o instancias de Sustitución son bastante diferentes en este sentido de algunos otros que llevan su verosimilitud en la manga. Este punto resulta lo suficientemente familiar en la literatura filosófica sobre la teoría de conjuntos como para que esta plataforma digital no se detenga en él.

¿Cuál es el resultado de la discusión de varios autores sobre (la versión justificativa de) el fundacionalismo euclidiano-autoevidencia? Los axiomas teóricos de conjuntos actuales suelen apoyarse en diversas pruebas, algunas intrínsecas y otras extrínsecas. Sería bastante exagerado suponer que todos estos axiomas son autoevidentes en algo parecido al sentido históricamente prevaleciente. No son ni ipsevident ni (a fortiori) maxevident.

Cabe sospechar, sin embargo, que el fundacionalismo-autoevidencia euclidiano debería aplicarse efectivamente a la teoría fundacional de varios autores, pero que esta teoría no es la teoría de conjuntos. Se trata de una fundamentación rival, siendo la principal candidata la teoría de categorías. esta plataforma digital tienen dos cosas que decir en respuesta. En primer lugar, que varios autores se centren en los axiomas de la teoría de conjuntos hasta ahora no presupone en sentido estricto un fundacionalismo set-teórico, es decir, la idea de que en algún sentido la teoría de conjuntos es un fundamento para las matemáticas. La teoría de conjuntos es un ejemplo de un área axiomatizada contemporánea de las matemáticas que entra en conflicto con el fundacionalismo euclidiano -la autoevidencia-, sirva o no de fundamento matemático. El fundacionalismo euclidiano se sostuvo como paradigma para todas las teorías matemáticas e incluso para las teorías no matemáticas de diversas disciplinas. Negar su aplicación a un área significativa de las matemáticas, la teoría de conjuntos, sea fundacional o no, es un retroceso significativo respecto a cómo se concibió históricamente el fundacionalismo euclidiano.

En segundo lugar, los análogos de los puntos que se acaban de exponer sobre la teoría de conjuntos se aplican igualmente a una fundamentación categorial-teórica. esta plataforma digital no puede mostrarlo adecuadamente aquí, pero el punto no es controvertido: la versión justificativa del fundacionalismo euclidiano-Self-Evidence no se aplica más a una fundamentación categorial-teórica que a la teoría de conjuntos estándar, Zermelo-Fraenkel-Choice (ZFC). Es muy difícil ver, por ejemplo, cómo el axioma que postula una versión categoría-teórica de los números naturales (un objeto de los números naturales), que suele encontrarse en una fundamentación de este tipo, podría estar más justificado intrínsecamente que el Axioma del Infinito de la teoría de conjuntos. Además, a cualquier fundamento de este tipo hay que añadirle una versión teórico-categorial del Axioma de Sustitución de la teoría de conjuntos para que sea tan sólido como el de Zermelo-Fraenkel-Choice, y este axioma también está lejos de ser evidente por sí mismo. Su justificación descansa en gran medida en sus consecuencias matemáticas.

El axioma de inducción, en forma esquemática o axiomática, parece no tener la categoría epistemológica de los demás axiomas, lo que sugiere que no es evidente por sí mismo. Para resumir un episodio ya infame, el matemático Ed Nelson afirmó en un momento dado que PA1 era inconsistente y creyó tener una prueba de este hecho. Nelson se retractó posteriormente de su afirmación. Si la prueba putativa de Nelson tuviera al menos cierta verosimilitud prima facie, esta plataforma digital habría buscado presumiblemente una instancia de inducción como culpable en lugar de un axioma sucesor o un axioma de suma o multiplicación. Aunque la posibilidad es descabellada, pone de relieve el hecho de que la lealtad de varios autores a los axiomas de PA1 no es monolítica: los seis primeros axiomas son más evidentes que al menos algunas instancias de inducción, lo que implica que esta última no puede ser del todo maxevidente.

Se podría replicar que aunque la inducción (ya sea en su forma axiomática de segundo orden o en su forma esquemática de primer orden) es autoevidente, el hecho de que sea autoevidente no es en sí mismo autoevidente. En otras palabras, tal vez Nelson estaba confundido: la inducción es autoevidente, para él como para cualquier otro, pero pensó erróneamente que no lo era. Pero éste parece ser un diagnóstico equivocado. Nelson, un experto teórico de los números, concebía los números naturales como construcciones y no como una totalidad preexistente, de ahí que rechazara las instancias impredicativas del esquema de inducción. Se aferró a esta creencia incluso después de retractarse de su afirmación de que PA1 era inconsistente. Muchos otros matemáticos de primera fila, incluido Henri Poincaré, han rechazado instancias de inducción por motivos predicativistas. Nelson y otros predicativistas han reflexionado mucho sobre la inducción -de hecho, más que la mayoría, ya que aprecian que en toda su generalidad tiene instancias impredicativas. Han comprendido claramente la inducción, pero aun así la rechazan. Lo que esto demuestra es que el principio de inducción no es tan evidente como los demás axiomas. La forma en que lo plantearía esta plataforma digital es que el principio de inducción es evidente en la concepción clásica de los números naturales, pero no en la concepción predicativista.

Por último, ¿qué ocurre con una teoría general como la teoría de grupos? ¿Son sus axiomas evidentes por sí mismos? Parece que sí. Después de todo, un sujeto que comprenda claramente el significado del término “grupo” estará justificado al máximo en su creencia de que todas las operaciones de grupo son asociativas. Por supuesto, los axiomas de una teoría general están estipulados, por lo que no son autoevidentes en un sentido interesante. También puede estar lejos de ser evidente por sí mismo que los axiomas de una teoría general describan siquiera una única estructura. Pero tales axiomas encajan, no obstante, porque son maxevidentes: una vez que un sujeto capta el axioma de que para cualquier grupo, la operación de grupo es asociativa sobre sus elementos, tiene el mayor grado posible de justificación de ese axioma.

El hecho de que los axiomas de la teoría de grupos sean autoevidentes no significa que su aplicación lo sea. Supongamos que los axiomas de la teoría de grupos complementados con algunas hipótesis sobre los tipos de grupos en los que esta plataforma digital está interesada (por ejemplo, finitos y abelianos) conllevan algún teorema p. Esta plataforma digital podría encontrarse con una estructura S y preguntarse si S satisface el conjunto complementado de principios (que se aplican a todos y sólo a los grupos abelianos finitos) y, por tanto, preguntarse si p se cumple en S. Establecer que S satisface los principios y, por tanto, que p es cierta en S, puede ser una empresa nada trivial. En la práctica, muchos problemas relacionados con grupos son de este tipo: no pura deducción a partir de axiomas, sino averiguar si una estructura dada es un grupo y, en caso afirmativo, de qué tipo, para poder aplicarle la teoría establecida. Además, más allá de las primeras páginas de la exposición de un libro de texto, la teoría de grupos utiliza resultados de muchas otras partes de las matemáticas. La existencia de homomorfismos entre diversas estructuras, por ejemplo, no se deduce de los axiomas de la teoría de grupos, sino del mundo teórico de conjuntos en el que viven los grupos. El progreso sustantivo en la teoría de grupos, más allá de los primeros pasos de bebé, depende de mucho más que de los axiomas y la lógica de grupos.

En resumen, los axiomas de la teoría de grupos pueden ser evidentes por sí mismos, pero este hecho no es terriblemente importante. Aplicar los axiomas es al menos igual de importante, y el trabajo sobre grupos va mucho más allá de la deducción a partir de los primeros principios de la teoría de grupos (es decir, los axiomas fundamentales más los suplementos).

En este punto debemos hacer una advertencia sobre la comprensión de “maxevidente”. Puede ser racional retener un pequeño grado de credibilidad en cualquier principio, por muy plausible que nos parezca. Esto puede ser por el tipo de razones que Descartes elaboró en las Meditaciones -¿puede esta plataforma digital descartar que un demonio maligno nos esté engañando? – u otras. Investigar la naturaleza y el tamaño de esta “carencia cartesiana”, si esta plataforma digital puede llamarla así, nos llevaría demasiado lejos en la epistemología general y nos alejaría del fundacionalismo euclidiano. esta plataforma digital observa simplemente que si existe tal carencia cartesiana, cualquier axioma autoevidente satisface el fundacionalismo euclidiano-autoevidencia sólo módulo a esta carencia. Más generosamente, esta plataforma digital puede decir que tal axioma es maxevidente, siempre que esta plataforma digital entienda ‘grado máximo’ de modo que permita la existencia de esta carencia.

¿Cuál es el resultado? El fundacionalismo-autoevidencia euclidiano no se aplica a muchos de los axiomas de la teoría de conjuntos contemporánea y ni siquiera se aplica a todos los axiomas de la aritmética. Sin embargo, todos los axiomas de la teoría de grupos parecen autoevidentes. En resumen, aunque la noción de autoevidencia sí se aplica a una serie de axiomas en diversas áreas de las matemáticas, esta plataforma digital no puede afirmar sin reservas que el fundacionalismo euclidiano-autoevidencia se aplique a las matemáticas contemporáneas en su conjunto.

Fundacionalismo euclidiano-Flujo

Al igual que con el fundacionalismo euclidiano-Autoevidencia, esta plataforma digital puede tomar la relación E en el fundacionalismo euclidiano-Flujo como justificación. La discusión sobre el fundacionalismo euclidiano-Flujo puede proceder en gran medida de manera unificada, ya que no depende de si el dominio es la teoría de conjuntos, la aritmética o la teoría de grupos, o cualquier otra parte de las matemáticas para el caso. Sin embargo, hay un punto que sí se aplica a las teorías específicas y no a las generales: la justificación en una teoría matemática específica es bidireccional. Fluye “de arriba abajo”, de los axiomas con cierta plausibilidad intrínseca a los teoremas, pero también -y quizá aún más importante- “de abajo arriba”, de las afirmaciones establecidas a los axiomas que las organizan. Los axiomas de la aritmética, por ejemplo, obtienen al menos parte de su justificación del hecho de que implican afirmaciones elementales como “2 + 2 = 4” o “5 y 7 son primos gemelos”. Ésta es una de las razones por las que esta plataforma digital piensa que el fundacionalismo euclidiano no se aplica plenamente ni siquiera en su dominio quizá más prometedor, el de la aritmética. Es precisamente a este punto general al que alude Lakatos en su caracterización del llamado Programa Empirista.

Un punto relacionado es que encontrar una segunda (o tercera o cuarta) prueba de algún hecho matemático aumenta la confianza de varios autores en él. Esto impugna la versión fuerte del fundacionalismo euclidiano-Flujo, que en combinación con el fundacionalismo euclidiano-Autoevidencia implica que un matemático que capta una única prueba de p está máximamente justificado para creer p. Si captar una segunda prueba de p aumenta la justificación de un matemático para creer p, no podría haber estado máximamente justificado previamente.

Hay otro problema en las inmediaciones para el fundacionalismo euclidiano-Flow. La versión del fundacionalismo-flujo euclidiano en la que se toma la relación E como (alguna especie de) justificación dice lo siguiente: si una conclusión se sigue de unas premisas, y el sujeto lo capta claramente, y tiene un alto grado de justificación en las premisas, tiene por tanto un grado de justificación igualmente alto en la conclusión. Esta versión del principio presupone que la justificación es una noción graduada, seguramente una afirmación incontestable. Al principio de la temporada, Luke puede estar justificado en su creencia de que el Arsenal no ganará la Premier League (basándose en la forma del equipo la temporada anterior, sus fichajes de verano, etc.), pero estará más justificado en esa creencia después de verles perder sus tres primeros partidos seguidos. La versión justificacionista del fundacionalismo euclidiano-Flow afirma a grandes rasgos que hay poca pérdida de justificación al inferir un teorema a partir de unos axiomas. En su versión más fuerte, afirma que no hay tal pérdida de justificación, ninguna erosión en absoluto.

Sin embargo, la versión de justificación fuerte del fundacionalismo euclidiano-Flow es falsa si esta plataforma digital acepta un principio de apariencia razonable que vincula la justificación y la credibilidad racional. Suponga que ha deducido q de p y que su credibilidad racional en q es menor que su credibilidad racional en p; entonces su justificación para q es menor que su justificación para p. El principio se centra en el caso de una premisa para simplificar, pero es fácilmente generalizable. Parece bastante robusto a los contraejemplos, pero en cualquier caso esta plataforma digital sólo necesita su aplicación en los casos particulares de interés. Para mostrar que la versión fuerte del fundacionalismo euclidiano-Flow es falsa, basta por tanto con mostrar que inferir una conclusión a partir de una premisa puede erosionar la creencia racional.

Está bastante claro que incluso un argumento deductivo no necesita ser, y típicamente no lo será, preservador de la creencia racional. (Lo mismo cabe decir de un argumento no deductivo.) Un sujeto reflexivo, consciente de sus limitaciones de capacidad de razonamiento, memoria, capacidad de atención, etc., que siga un argumento deductivo hasta su conclusión debería otorgarle normalmente menos credibilidad de la que otorga a la conjunción de las premisas. Por ejemplo, si el sujeto sabe que en cualquier periodo de diez minutos hay un 1% de posibilidades de que se le escape un error, la credibilidad que debería dar a la conclusión de un argumento en el que ha estado trabajando durante un par de horas y cuyas premisas cree colectivamente que tienen un grado 0,9 debería ser considerablemente menor que 0,9 (si esa es su única prueba de la conclusión).

Un punto en esta línea está razonablemente bien establecido en epistemología. Algunos autores, por ejemplo, argumentan en detalle que la justificación no siempre se preserva mediante el razonamiento deductivo pensando en “argumentos de larga secuencia”, es decir, argumentos con un gran número de pasos. El grado de creencia racional disminuye ligeramente con cada paso deductivo, de forma que se agrega. Aunque no cada paso erosione la justificación de varios autores, una secuencia larga sí lo hará.

Todo esto puede concederse, pero la réplica podría ser que los argumentos deductivos preservan la creencia racional para los sujetos ideales. la respuesta de varios autores a esto es doble. En primer lugar, esta plataforma digital está menos interesada en la epistemología de los seres ideales que en la de los reales: los usuarios de carne y hueso de las matemáticas. la pregunta de varios autores es si la práctica matemática está a la altura de las normas del fundacionalismo euclidiano, no si la práctica idealizada lo está. Y los matemáticos reales están muy sujetos a la erosión de la credibilidad y la justificación.

En segundo lugar, la noción de agente ideal puede precisarse de varias maneras. No cabe duda de que existe un sentido legítimo de “agente ideal” en el que tal sujeto es lógicamente omnisciente, y quizá para ellos los argumentos deductivamente válidos preserven la credibilidad racional. Y, de hecho, parece como si el propio fundacionalismo euclidiano estuviera diseñado para agentes idealizados hasta cierto punto y de alguna manera. Incluso el geómetra de Euclides puede trazar segmentos de línea de longitud arbitraria, cosa que ningún agente real es capaz de hacer. En términos más generales, requisitos como el fundacionalismo-completitud euclidiano exigen únicamente que ciertas proposiciones sean deducibles de los axiomas; pero una deducción puede ser tan larga y complicada que ningún matemático real podría producirla antes de expirar. Pero en general, el fundacionalismo euclidiano entendido como ideal metodológico parece operar con la idealización estándar que es, según Shapiro en su obra de 2009, “invocada en todas las matemáticas, donde esta plataforma digital ignora las limitaciones de la capacidad de atención, la memoria, el tiempo de vida y similares”. En otras palabras, los agentes idealizados son matemáticamente del mismo tipo que los seres humanos corrientes: sólo pueden hacer más de lo mismo pero mejor y no están sujetos a las limitaciones prácticas de varios autores.

Sin embargo, los pensadores ideales en el sentido justamente especificado siguen estando sujetos a la incertidumbre inferencial. Supongamos que un agente idealizado puede estar racionalmente seguro de que ha aplicado correctamente una regla de inferencia cuando lo ha hecho y siempre puede detectar errores cuando no lo ha hecho. Aun así, este tipo de sujeto ideal bien podría dar una credibilidad inferior a 1 a la proposición de que alguna regla deductiva preserva la verdad; podrían no ser filosóficamente infalibles sobre si una noción dada de consecuencia lógica es correcta.

Por tanto, la mejora matemática debe distinguirse de la idealización filosófica. La primera se queda muy corta, por ejemplo, para proporcionar una refutación racionalmente intachable de la posición filosófica de Dummett. Aunque el progreso de la filosofía es ciertamente posible, esta plataforma digital no puede llegar a conclusiones filosóficas racionalmente inquebrantables simplemente mejorando los poderes matemáticos existentes de varios autores. Así pues, en lo que respecta a la versión de justificación fuerte del fundacionalismo euclidiano-Flow, la conclusión se mantiene. Cuando los matemáticos mejorados matemáticamente realizan una inferencia, especialmente una larga, sus credenciales racionales pueden verse erosionadas. Y su justificación para una conclusión de una inferencia deductivamente válida puede ser menor que su justificación para su(s) premisa(s). A fortiori, esto es cierto para los matemáticos de carne y hueso, que también están sujetos a limitaciones de las que están libres sus homólogos mejorados matemáticamente.

Consideraciones similares se aplican ampliamente a la versión más débil del fundacionalismo euclidiano: el flujo enunciado con la relación E instanciada por (alguna especie de) justificación. La credibilidad racional puede verse erosionada por la inferencia para todos los sujetos idealizados salvo los filosóficamente infalibles, de modo que alguien con una credibilidad muy alta en los axiomas puede acabar, de forma bastante racional, con una credibilidad no particularmente alta en un teorema derivado de una conjunción de axiomas de alta credibilidad, especialmente si la derivación es larga. De ahí que el fundacionalismo-flujo euclidiano, entendido como aplicable a la justificación, no sea defendible ni en su versión fuerte ni en la débil (dado el vínculo entre justificación y credibilidad racional). Esta moraleja se aplica a todas las ramas de las matemáticas.

Llegamos a la conclusión de que sólo uno de los tres principios fundamentales del fundacionalismo euclidiano, a saber, el fundacionalismo euclidiano-verdad, queda inequívocamente en pie en lo que respecta a las matemáticas modernas.

El fundacionalismo euclidiano evaluado: Principios subsidiarios

El texto anterior cubría los tres principios fundamentales del fundacionalismo euclidiano. esta plataforma digital evalúa ahora los cuatro principios subsidiarios del fundacionalismo euclidiano.

Fundacionalismo euclidiano-Finito

Una teoría satisface el fundacionalismo euclidiano-finito si tiene una presentación finita, es decir, el número de sus axiomas no esquemáticos más el número de sus esquemas es finito. Este requisito de finitud es razonable si se parte de la absorción de que las mentes y las vidas de varios autores son finitas, de modo que cualquier axiomatización que los matemáticos humanos puedan dar o comprender debe ser finitamente descriptible. Incluso el matemático idealizado, que es posiblemente el sujeto del fundacionalismo euclidiano, no puede haber comprendido en ningún momento infinitos axiomas. Pero una teoría que incluye infinitamente muchos axiomas simplemente en virtud de incluir finitamente muchos esquemas no es problemática de una manera que sea epistemológicamente relevante.

El requisito de representación finita cubre la inmensa mayoría de (formalizaciones de) teorías utilizadas por los matemáticos contemporáneos. Cubre, por ejemplo, la teoría de conjuntos ZFC, que contiene dos esquemas con infinitas instancias y un número finito de otros axiomas. Lo mismo ocurre con las extensiones de ZFC, que van desde las extensiones débiles ampliamente aceptadas (por ejemplo, ZFC más la afirmación de que existe un cardinal inaccesible) hasta otras mucho más fuertes investigadas por los teóricos de conjuntos. Lo mismo ocurre con las teorías estándar de la aritmética, el análisis, los grupos, etc. Todas estas axiomatizaciones implican de hecho un número de axiomas manejablemente pequeño. Naturalmente, los lógicos contemporáneos investigan una gama muy amplia de teorías, algunas de las cuales no admiten una presentación finita. Pero estas últimas no son típicamente (o nunca, por lo que sabe esta plataforma digital) teorías de las que pueda decirse que representan razonamientos matemáticos sobre un dominio concreto.

En lo que respecta a las reglas de inferencia, los sistemas lógicos contemporáneos suelen constar de un número finito de ellas. Estos sistemas pueden ser de estilo Hilbert, con, digamos, sólo modus ponens como regla proposicional y un número pequeño (finito) de reglas relativas al cuantificador universal. Los sistemas de deducción natural son otro enfoque popular. En un sistema típico de deducción natural, hay como mucho dos reglas de introducción y como mucho dos de eliminación por conectiva, y por tanto un número finito de reglas, ya que el sistema sólo contiene un número finito de conectivas.

Así pues, tal y como están las cosas, el fundacionalismo euclidiano finito es válido. Para que fallara, esta plataforma digital necesitaría observar a matemáticos haciendo uso de una teoría verdaderamente infinitaria, que incluyera infinitamente muchos axiomas que no son instancias de un esquema, o bien infinitamente muchos esquemas infinitamente muchas reglas primitivas, o reglas que fueran infinitarias por naturaleza. Pero tales teorías no son corrientes, ni siquiera en las matemáticas contemporáneas.

Fundacionalismo euclidiano – Generalidades

Las axiomatizaciones suelen ajustarse al fundacionalismo euclidiano-General porque sus axiomas son o pueden refundirse como proposiciones generales. Algunos ejemplos: la única entidad específica mencionada en las axiomatizaciones habituales de la teoría de conjuntos es el conjunto vacío, definible como el único conjunto sin miembros; en aritmética, 0 puede definirse como el único elemento cuya suma al sumarse a sí mismo es él mismo; en la teoría de grupos, el elemento identidad es el único elemento e tal que e + x = x = x + e para cualquier elemento x del grupo (donde + es la operación de grupo); en la teoría de campos reales, 0 puede definirse de la misma manera que el 0 de la aritmética, y 1 como el único elemento distinto de 0 cuyo producto consigo mismo es él mismo; y así sucesivamente.

Ahora bien, por supuesto, nada nos impide añadir constantes indefinidas a una teoría, y los teóricos de modelos investigan todo tipo de teorías axiomáticas que contienen términos indefinidos. Por escoger un ejemplo al azar de un saco sin fondo, uno puede estar interesado en las propiedades de la teoría de los órdenes lineales densos sin puntos finales con dos constantes c1 y c2 tales que c1 < c2 pero en la que no se da ninguna otra información sobre c1 o c2, de modo que ninguno de ellos es definible. A la luz de esto, la conclusión de varios autores es que, en la práctica matemática estándar, el fundacionalismo general euclidiano se aplica a la gran mayoría de las teorías que surgen “naturalmente”, siempre que esta plataforma digital permita que aparezcan entidades particulares si son definibles en términos generales. Ciertamente, se aplica al trío elegido por varios autores de la teoría de conjuntos, la aritmética y la teoría de grupos.

Se podría ir más lejos y preguntarse por qué el fundacionalismo general euclidiano se aplica de forma tan general, y por qué en particular parece aplicarse universalmente a teorías específicas (que tienen una interpretación prevista). Hacerlo, sin embargo, nos llevaría demasiado lejos en la metafísica de las matemáticas. esta plataforma digital se limita a señalar de pasada que cualquier metafísica satisfactoria de las matemáticas debería ser compatible con este hecho. El estructuralismo ante rem de Stewart Shapiro, por ejemplo, cualesquiera que sean sus otros defectos, está bien situado para explicar por qué el fundacionalismo general euclidiano se sostiene, precisamente porque considera que las entidades matemáticas sólo tienen propiedades “estructurales”. Desde ese punto de vista, cualquier entidad que pueda ser elegida en absoluto puede ser elegida en términos ‘estructurales’, y por tanto, presumiblemente, generales.

Fundacionalismo euclidiano-Independencia

Aunque la información sobre la independencia mutua, o la falta de ella, de los axiomas en una teoría matemática dada tiene sin duda valor matemático, las matemáticas modernas no insisten en el fundacionalismo-independencia euclidiano en ningún sentido estricto.

Un único esquema simple, con infinitas instancias, es preferible a una miscelánea finita, a pesar de que infinitas instancias del esquema sean lógicamente redundantes. En otras palabras, la teoría moderna de conjuntos viola el fundacionalismo-independentismo euclidiano por preferencia a la economía de presentación axiomática.

La axiomatización estándar de la aritmética también contiene cierta redundancia. Por ejemplo, algunas instancias del axioma de inducción de la aritmética de Peano implican otras, algunas son verdades lógicas (por lo que no es necesario plantearlas como axiomas separados), etcétera.

A esto, la respuesta podría ser que el fundacionalismo euclidiano-independentista debería evaluarse a nivel de esquemas. La idea es que un esquema no debería identificarse con sus instancias, sino que debería considerarse como una cosa única que conlleva o unifica sus instancias. Un esquema se consideraría entonces independiente del resto de una teoría si no se da el caso de que todas sus instancias puedan derivarse del resto de la teoría. En este sentido, ¿se sostiene el fundacionalismo-independentismo euclidiano? Lo hace para PA1, y también para PA2, siempre que se omitan los axiomas de multiplicación y adición, siendo derivables de los axiomas de sucesión e inducción. Sin embargo, esta plataforma digital observa que en varias presentaciones estándar de PA2, estos axiomas se mantienen por su conveniencia y su utilidad para facilitar la comparación con sistemas más débiles, incluido PA1.

La lectura más indulgente (esquemática en lugar de axiomática) del fundacionalismo euclidiano-independentista también falla para la teoría de conjuntos. Por ejemplo, las presentaciones típicas de ZF o ZFC también incluyen un axioma que postula la existencia de un conjunto vacío, cuya existencia también se deduce del axioma del infinito y de las operaciones simples. (El infinito postula la existencia de un conjunto que contiene al conjunto vacío y cerrado bajo la operación sucesor). De hecho, la existencia de un conjunto vacío se sigue de la existencia de cualquier conjunto por el Axioma de Separación. La teoría moderna de conjuntos considera útil tener un Axioma del Conjunto Vacío separado, tanto por claridad como para investigar cómo sería la teoría de conjuntos sin el Axioma del Infinito. Del mismo modo, la Sustitución implica la Separación (dada la existencia del conjunto vacío) por un tipo de argumento estándar. La Separación suele incluirse en parte por razones históricas, pero también para comparar diversas axiomatizaciones de la teoría de conjuntos con o sin ella. Así pues, incluso en esta caracterización más indulgente -que toma los esquemas como principios únicos- la teoría de conjuntos no respeta el fundacionalismo euclidiano-independentista aunque podría modificarse fácilmente, sin mayores consecuencias, para hacerlo.

Observamos finalmente que los axiomas de la teoría de grupos no contienen ninguna redundancia, de modo que la teoría de grupos satisface el fundacionalismo-independentismo euclidiano. En este sentido, es bastante típica de las teorías generales.

En resumen, el fundacionalismo-independentismo euclidiano puede entenderse de forma estricta como aplicable a los axiomas. Así entendida, la teoría de grupos es la única del trío de teorías de varios autores que la respeta; la teoría de conjuntos y la aritmética no. Entendido de forma más generosa para abarcar los esquemas tomados como principios únicos en lugar de sus instancias, el fundacionalismo-independentismo euclidiano también es respetado por la aritmética de primer orden. No lo respeta la teoría de conjuntos ni algunas presentaciones de la aritmética de segundo orden, pero ambas podrían modificarse para que lo hicieran. Lo que estos casos sugieren es que la simplicidad es una virtud primordial de una presentación axiomática, y la independencia una secundaria. Lo que explica por qué, a veces, se sacrifica cierto grado de independencia axiomática, e incluso esquemática, en aras de la simplicidad. Las pequeñas desviaciones del fundacionalismo-independentismo euclidiano en las presentaciones axiomáticas típicas de la aritmética y la teoría de conjuntos ilustran este punto.

Fundacionalismo euclidiano-Completitud

El cuarto y último de los principios subsidiarios exige que las teorías sean completas, al menos con respecto a cierta clase especificada de verdades.

Empezaremos considerando las teorías generales. Naturalmente, no se requiere que las teorías generales sean completas en el sentido fuerte de negación-completitud. La teoría de grupos, por ejemplo, debe abarcar tanto los grupos abelianos como los no abelianos, por lo que no debe resolver la afirmación de que la operación de grupo es conmutativa en un sentido o en otro.

Dicho esto, se exige que las teorías generales sean completas en el sentido estricto de que no pasen por alto ningún hecho expresable en el lenguaje de la teoría que sea común a todas las estructuras que la teoría intenta captar. Pero como se trata de una estipulación, la completitud en este sentido se asegura fácilmente, ya que esta plataforma digital puede simplemente fijar el significado de, digamos, “grupo”, para cubrir exactamente las estructuras que satisfacen los axiomas estipulados del tema que esta plataforma digital llama “teoría de grupos”. Los hechos comunes a todas esas estructuras expresables en el lenguaje de la teoría de grupos son exactamente las consecuencias lógicas de primer orden de los axiomas de la teoría de grupos. Dado que la lógica de primer orden es completa, estas consecuencias son todas derivables de los axiomas. Quizás la única forma en que la completitud en este sentido débil podría fallar es si, digamos, la palabra “grupo” se utilizara para significar algo como “lo que estas estructuras [señalando algunas estructuras]” tienen en común, pero los axiomas no consiguieran captar con precisión los puntos en común relevantes de las estructuras. (Por ejemplo, las estructuras podrían ser todas grupos pero los axiomas propuestos los de monoides). Este tipo de desajuste entre la estructura pretendida y la axiomatización propuesta puede producirse al principio del desarrollo de una teoría general, pero es poco probable que persista.

Además, el interés de la lectura estrecha es escaso, dado lo limitados que son los hechos sobre grupos que esta plataforma digital puede expresar en teoría de grupos de primer orden. En una lectura más amplia de la completitud, esta plataforma digital podría considerar que un hecho conocido o conocible de la teoría de grupos es aquel que los matemáticos (especialmente los teóricos de grupos) contarían como tal. En esta lectura, incluso la forma más débil del fundacionalismo-completitud euclidiano, según la cual las verdades conocidas de la materia se siguen de los axiomas, fracasaría, ya que los hechos conocidos en el sentido más amplio incluyen de forma bastante obvia muchas afirmaciones no expresables en el lenguaje de la teoría de grupos de primer orden. La afirmación de que una estructura es isomorfa a otra, por ejemplo, no es expresable en este lenguaje, como tampoco lo son las generalizaciones sobre todos los grupos finitos, ni más en general ninguna afirmación que implique las palabras “finito” o “infinito” (ya que estas nociones no son expresables en primer orden), etc. Podrían plantearse consideraciones similares sobre otras teorías generales. esta plataforma digital concluye que las teorías generales no suelen satisfacer el fundacionalismo-completitud euclidiano en el sentido más amplio e interesante.

Pasemos ahora a las teorías específicas, que son harina de otro costal. No se requiere que la relación de consecuencia de una teoría euclidiana sea la deducción formal; puede permitirse que la intuición geométrica o el dibujo de diagramas, por ejemplo, desempeñen un papel esencial en las pruebas y las construcciones. Esto hace que las pretensiones de exhaustividad sean muy difíciles de evaluar para las teorías no formalizadas, porque que algún teorema tenga una demostración puede depender de qué modos de inferencia tome esta plataforma digital como intuitivamente admisibles, y que algún problema tenga una solución puede depender de que alguna construcción diagramática sea propiamente geométrica. Este ha sido un tema de discusión bastante tenso a lo largo de los tiempos, y uno puede imaginarse fácilmente problemas similares sobre el alcance de la intuición para otras áreas distintas de la geometría. Así, esta plataforma digital restringe la atención de varios autores a teorías específicas con una relación formal deductiva, como es la norma en las matemáticas contemporáneas. Para ellos, es natural suponer que la completitud en el sentido de negación-completitud es un ideal. esta plataforma digital considera en primer lugar la versión más fuerte del fundacionalismo-completitud euclidiano, a saber, que una teoría de algún tipo de estructura matemática particular debería deducir todos los hechos sobre ella.

Por desgracia, ese ideal es inalcanzable. Esto se desprende del Primer Teorema de Incompletitud de Gödel. Incorporando un refuerzo debido a Rosser, esta plataforma digital puede enunciarlo diciendo que cualquier teoría recursivamente axiomatizada y consistente que contenga o interprete los axiomas de un sistema de primer orden conocido como Aritmética de Robinson es negación-incompleta. Para desentrañar esto: una teoría está recursivamente axiomatizada sólo cuando las propiedades de ser una fórmula bien formada de su lenguaje, ser un axioma y ser una demostración correcta son todas recursivamente decidibles. La Aritmética de Robinson es una teoría muy débil de la aritmética, que cualquier teoría de la aritmética que se precie implicará, y ciertamente cualquier fundamento de las matemáticas debería. La palabra “que contiene” en el enunciado del teorema es crucial y da al teorema su gran fuerza; añadir más axiomas a la teoría no es ningún apaño, sin comprometer la consistencia o la axiomaticidad recursiva de la teoría. Existen teorías extremadamente débiles que eluden la limitación gödeliana, como la axiomatización de la geometría elemental de Tarski, que es deductivamente completa y además es recursivamente decidible. Pero la geometría de Tarski es sólo un fragmento de la geometría euclidiana y no trata la teoría completa. Las teorías más ricas de la geometría son incompletas porque pueden interpretar la aritmética de Robinson (por ejemplo, una sucesión infinita de puntos puede identificarse con los números). Esto significa que el ideal más fuerte de completitud no puede alcanzarse ni siquiera en el hogar original del fundacionalismo euclidiano, y mucho menos más lejos, en las áreas más ricas de las matemáticas contemporáneas.

La consistencia de una teoría se deriva de la solidez del sistema, parte del fundacionalismo euclidiano-Verdad. Y la inclusión de la aritmética de Robinson es un requisito muy débil, como se ha señalado, que debe aceptarse tanto si la aritmética se axiomatiza por sí misma como si se lleva a cabo en alguna otra teoría, ya sea la teoría de conjuntos o la geometría. Observe que la axiomatizabilidad recursiva de la teoría se desprende del fundacionalismo euclidiano-finito, suponiendo que el lenguaje y el sistema deductivo de la teoría se comportan de forma estándar. (Dicho en términos generales, esta plataforma digital debe ser capaz de decir, de una fórmula que es una fórmula, y de una demostración que es una demostración). Este tipo de requisitos han estado (de forma laxa) implícitos a lo largo de la historia del fundacionalismo euclidiano, al menos hasta el siglo XX, y no se enunciaron explícitamente porque se dan por supuestos. Por eso, digamos, la Aritmética Verdadera, la teoría consistente en todas las afirmaciones aritméticas verdaderas en el lenguaje de PA1, no puede servir a los propósitos epistemológicos del fundacionalismo euclidiano.

En resumen, el Primer Teorema de Incompletitud de Gödel hunde la versión más fuerte del fundacionalismo euclidiano: la completitud para teorías específicas. Por supuesto, nadie antes del siglo XX, o de hecho antes de 1930, podría haber previsto este resultado, lo que explica en cierta medida el atractivo duradero del fundacionalismo euclidiano hasta el siglo XX.

Según el euclidiano, se sabe que todos los axiomas de una teoría adecuada son verdaderos, y la deducción a partir de ellos preserva la verdad. Por inducción, todos los teoremas de la teoría son también verdaderos. Dado que cualquier conjunto verdadero de sentencias es consistente, se deduce de una mínima reflexión metateórica que la teoría es en sí misma consistente. Suponiendo, como debe hacer el euclidiano, que se conocen los resultados de la deducción a partir de premisas conocidas, se deduce que se sabe que la teoría es consistente. Dado que la sentencia de consistencia de una teoría es una sentencia en el lenguaje de esa teoría, también expresa una afirmación estándar sobre los objetos de la teoría. Por ejemplo, la sentencia de consistencia de la aritmética de Peano dirá que algún número (codificando la afirmación de que 0 = 1) no satisface un predicado numérico particular (codificando la deducibilidad a partir de los axiomas). Puesto que se sabe que esa afirmación es lógicamente equivalente a otra afirmación conocida (a saber, la consistencia de la teoría), el teórico euclidiano la conoce una vez más. Por tanto, existe alguna afirmación conocida sobre el dominio que no se sigue deductivamente de los axiomas. Además, puesto que lo conocido es conocible, existe alguna afirmación conocible sobre los objetos del dominio que no se sigue de los axiomas de la teoría, echando por tierra también una forma intermedia de fundacionalismo euclidiano-Completitud.

Una advertencia: el argumento que defiende esta plataforma digital no siempre está disponible; en particular, no está disponible para una teoría (consistente, suficientemente fuerte, axiomatizada recursivamente) con un predicado de verdad que se aplica a cualquier oración del lenguaje (incluidas las oraciones que contienen el predicado de verdad). En una teoría así, esta plataforma digital podría formular el argumento anterior de la verdad de los axiomas a la consistencia de la teoría, pero el segundo teorema de incompletitud muestra que esto debe ir mal de alguna manera. Exactamente cómo sale mal es sensible al comportamiento del predicado de verdad. Pero el tipo de teorías que estamos considerando, como la aritmética y la teoría de conjuntos, no incluyen de forma estándar un predicado de verdad en absoluto, y para estos tipos de teoría, no es problemático inferir la consistencia de la teoría a partir de la verdad de sus axiomas si las reglas deductivas son preservadoras de la verdad. Para los propósitos de varios autores, esto es suficiente, ya que las teorías que incluyen este tipo de predicado no son la corriente principal en las matemáticas actuales, ni históricamente la preocupación del fundacionalismo euclidiano. Ofrecen una excepción interesante al argumento gödeliano de varios autores, pero una excepción no más problemática para la evaluación del fundacionalismo euclidiano de varios autores que la existencia de teorías no recursivas, o teorías tan débiles que no contienen Aritmética de Robinson. esta plataforma digital concluye que el segundo teorema de Gödel hunde las versiones más débiles del fundacionalismo euclidiano-Completitud tan a fondo como el primer teorema hunde su contraparte fuerte.

¿Qué debería sustituir al fundacionalismo euclidiano?

En las subsecciones anteriores, esta plataforma digital argumentó que el fundacionalismo euclidiano se aplica a las matemáticas contemporáneas en algunos aspectos, pero no en otros. Si el fundacionalismo euclidiano es, en el mejor de los casos, una imagen parcialmente exacta de la epistemología matemática, ¿qué debería sustituirlo? Esta pregunta es demasiado grande para que podamos responderla aquí, pero esta plataforma digital hace un comienzo en ella explorando algunas características de la epistemología matemática contemporánea, todas ellas partes importantes del pensamiento post-euclidiano. varios autores se centrarán en la teoría de conjuntos, por razones que surgirán. Junto con algunas ideas supervivientes del fundacionalismo euclidiano, ofrecen una imagen desordenada pero rica del conocimiento matemático que apunta hacia un digno sucesor del fundacionalismo euclidiano.

Intrínseco frente a autoevidente

Recordemos la distinción entre justificación intrínseca y extrínseca de un axioma. La primera sugerencia de varios autores es que, en lo que respecta a la epistemología de las matemáticas, es más útil pensar en términos de axiomas intrínsecamente justificados que de axiomas autoevidentes.

Los axiomas autoevidentes están intrínsecamente justificados. Los axiomas definitorios o cuasidefinitorios, como el axioma de extensionalidad de la teoría de conjuntos, son excelentes candidatos para la autoevidencia, al igual que el axioma aritmético de que el 0 no es el sucesor de ningún número. Pero no todos los axiomas gozan de este estatus. Consideremos, por ejemplo, el axioma del infinito de la teoría de conjuntos. Este axioma no goza de la fuerza intuitiva ni siquiera del axioma aritmético más discutible, el principio de inducción. Negarlo no parece contradictorio, ni siquiera conceptualmente desafiante del modo en que podría parecer a primera vista negar el Postulado Paralelo, que no es directamente cierto.

Sin embargo, sería demasiado precipitado dictaminar que cualquier justificación de que goce el axioma es por ello extrínseca. Pues la justificación intrínseca también puede corresponder a un axioma si se desprende de una concepción de la materia pertinente. Gödel, un nuevo euclidiano, fue pionero de esta concepción de la justificación intrínseca en 1964, al discutir los axiomas de la teoría de conjuntos implicados por el concepto de conjunto. Mientras que el fundacionalismo euclidiano habla de principios autoevidentes tout court, post-Gödel esta plataforma digital tiende a pensar en principios que son obvios/evidentes sobre una concepción.

Basado en la experiencia de varios autores, mis opiniones, perspectivas y recomendaciones se expresarán a continuación (o en otros lugares de esta plataforma, respecto a las características en 2026 o antes, y el futuro de esta cuestión):

Ser evidente sobre una concepción es estar intrínsecamente justificado, aunque en un sentido relativo. El axioma del infinito, aunque también goza de cierto grado de justificación extrínseca, es una verdad evidente y fundamental sobre el universo de conjuntos en la concepción iterativa. Gödel la contrapone a la concepción ingenua y la describe como el concepto de conjunto “según el cual un conjunto es algo obtenible a partir de los números enteros (o de algunos otros objetos bien definidos) mediante la aplicación iterativa de la operación “conjunto de”, no algo obtenido dividiendo la totalidad de todas las cosas existentes en dos categorías”. Un rasgo básico de la concepción iterativa es que el universo de conjuntos se forma por etapas, y es un rasgo igualmente central de la concepción iterativa que esta secuencia llega al menos hasta ω, el primer ordinal infinito, y más allá. Así pues, el axioma del infinito no sólo está justificado extrínsecamente: esta plataforma digital tiene una concepción tolerablemente clara del universo de conjuntos en el que el axioma evidentemente se sostiene, lo que le confiere también un grado de justificación intrínseca.

Por supuesto, sigue habiendo preguntas sobre hasta qué punto varios axiomas están intrínsecamente justificados, por ejemplo si el axioma de elección, que afirma que cualquier conjunto no vacío de conjuntos no vacíos disjuntos tiene un conjunto de elección, es evidente en la concepción iterativa. Mejor no entrar aquí en estas consideraciones; para los propósitos de varios autores basta con subrayar que el fundacionalismo euclidiano es ciego a la importante distinción entre axiomas que son evidentes por sí mismos y los que son evidentes sobre una concepción.

Se podría objetar en favor del euclidiano: ¿no ha existido siempre la relatividad a una concepción? Consideremos, por ejemplo, el principio de inducción en aritmética. No tiene sentido decir que la inducción es evidente con total independencia de una concepción de los números naturales. Y ningún euclidiano que se precie lo habría dicho jamás. Más bien, decir que el principio de inducción es evidente por sí mismo significa que no se necesita ninguna prueba del principio una vez que se ha comprendido el axioma y la concepción de los números naturales que subyace tras él.

En respuesta, esta plataforma digital observa que la noción de autoevidencia no es una que venga en grados, a diferencia de la evidencia sobre una concepción. Como esta plataforma digital vio anteriormente, incluso los axiomas de la aritmética, que esta plataforma digital no considera que requieran una prueba, no son todos iguales en el grado de evidencia intrínseca del que gozan. Tampoco toda concepción coherente de los números naturales justifica las formas estándar del principio de inducción. Ambos puntos van en contra de la autoevidencia del principio de inducción en el sentido estándar en el que han insistido los partidarios del fundacionalismo euclidiano.

Parte del fundacionalismo euclidiano ha sobrevivido hasta nuestros días; el fundacionalismo euclidiano-verdad, el fundacionalismo euclidiano-finito y el fundacionalismo euclidiano-general son requisitos convincentes para imponer a las teorías matemáticas. esta plataforma digital podría entonces añadir a éstos un sustituto del fundacionalismo euclidiano-autoevidencia: los axiomas pueden justificarse porque son evidentes en relación con una concepción del objeto de la teoría. La fuerza de esa justificación dependerá de la contundencia de la concepción subyacente. Pero este tipo de evidencia relativa no es el final de la historia; como observará ahora esta plataforma digital, la evidencia extrínseca también desempeña un papel importante en la epistemología matemática moderna.

Justificación extrínseca

El fundacionalismo euclidiano tiene varios puntos ciegos. Uno es que ignora la justificación no deductiva en matemáticas. Pero quizá el mayor punto ciego del fundacionalismo euclidiano, desde una perspectiva contemporánea, es que ignora la justificación de un axioma a través de sus consecuencias. Las consideraciones extrínsecas desempeñan un papel absolutamente central en la epistemología moderna de las teorías matemáticas. La justificación extrínseca de un axioma es análoga al tipo de justificación de que gozan los principios científicos bien establecidos. En esta sección, esta plataforma digital limitará la atención de varios autores a la aritmética y a la teoría de conjuntos, dejando atrás sobre todo la teoría de grupos. Las consideraciones sobre la fecundidad de las consecuencias de los axiomas de grupo se refieren menos a su justificación per se, ya que son autoevidentemente ciertos por estipulación, y más a la motivación para formular y desarrollar la teoría en primer lugar.

El primer tipo de justificación extrínseca que se discutirá en esta plataforma digital se denomina justificación estrictamente regresiva. Es análoga al tipo de justificación de que goza un postulado científico que contribuye directamente a la adecuación empírica de una teoría; es decir, un postulado sin el cual no se podría dar cuenta de una serie de datos. Lakatos, como vio esta plataforma digital en §2, considera que el programa empirista es ascendente, en contraste con el enfoque descendente del fundacionalismo euclidiano. La justificación estrictamente regresiva desempeña un papel principal en el Programa Empirista. Una doctrina en esta línea es articulada más claramente por Russell, que traza en 1907 una “estrecha analogía entre los métodos de las matemáticas puras y los métodos de las ciencias de la observación”. Es bastante común concebir las proposiciones de las ciencias naturales como divididas en dos grandes tipos (independientemente de que esta plataforma digital tome o no esos tipos como disjuntos o fuertemente delimitados): los datos y los principios generales o leyes. En esta concepción, los datos son proposiciones empíricas que esta plataforma digital toma por hechos, y los principios generales aquellas proposiciones formuladas para predecir los hechos, en concierto con hipótesis auxiliares. De hecho, la predicción de los datos es el medio principal para verificar estos principios o leyes, ya sea individual o colectivamente. Los datos tienen su propio estatus epistemológico especial, pero sean o no los principios generales intrínsecamente plausibles, esta plataforma digital los toma por verdaderos si predicen todos los datos y no predicen nada que esta plataforma digital sepa que es falso.

Por analogía, se supone que los axiomas matemáticos se verifican “prediciendo” (es decir, implicando deductivamente) proposiciones de algún tipo privilegiado identificadas como los datos. Esta es, a grandes rasgos, la opinión de Russell sobre el asunto, que él denomina “método regresivo” de justificación de los axiomas. Desempeña un papel importante en su propio sistema fundacional; por ejemplo, en Principia Mathematica, (en 1910) dijo lo siguiente sobre el controvertido axioma de reducibilidad:

“Que el axioma de reducibilidad es autoevidente es una proposición que difícilmente puede mantenerse. Pero de hecho la autoevidencia nunca es más que una parte de la razón para aceptar un axioma, y nunca es indispensable. La razón para aceptar un axioma, como para aceptar cualquier otra proposición, es siempre en gran medida inductiva, a saber, que muchas proposiciones que son casi indubitables pueden deducirse de él, y que no se conoce ninguna manera igualmente plausible por la que estas proposiciones pudieran ser verdaderas si el axioma fuera falso, y nada que sea probablemente falso puede deducirse de él.”

Es esencial para el programa empirista que ciertas proposiciones se identifiquen como datos y que éstos tengan un estatus epistemológico especial que explique su papel en el programa. Diversas manifestaciones del Programa Empirista tendrán diferentes ideas acerca de qué proposiciones están debidamente clasificadas como datos, o qué proposiciones están iluminadas por la “luz natural de la Experiencia”, como dice Lakatos.

El propio Russell no es particularmente informativo sobre qué contar como datos, ni da una explicación detallada de su estatus epistémico privilegiado. Pero destaca proposiciones de un tipo simple, que parecen estar justificadas por la observación de un gran número de instancias correctas, y ninguna observación de instancias falsas. Tomemos, por ejemplo, la proposición de que 2 + 2 = 4, que debería contar como hecho común si es que algo lo hace. Russell conjetura que las fuentes históricas de esta creencia (o sus “premisas empíricas”, como él las llama) serán diversas observaciones de la vida cotidiana, como los antiguos pastores que observaban repetidamente que dos pares de ovejas son siempre cuatro ovejas. Fuera del seminario de epistemología, no se pueden albergar serias dudas sobre tales proposiciones. Las verdades de la aritmética elemental son, por tanto, mucho más evidentes que los axiomas de cualquier sistema del que pudieran derivarse. Esto lleva a Russell, en 1907, a concluir que el método para descubrir y justificar los principios fundamentales en matemáticas es “sustancialmente el mismo que el método para descubrir leyes generales en cualquier otra ciencia”. Dada la similitud de los métodos de justificación, no es sorprendente que para Russell el grado de verificación obtenido por los axiomas en matemáticas sea similar al que puede reclamarse para las leyes de la física. Como él dice, “cuando las leyes generales no son en sí mismas obvias, ni demostrablemente las únicas hipótesis posibles para dar cuenta” de los datos, “entonces las leyes generales siguen siendo meramente probables”.

Pero eso no significa que la justificación estrictamente regresiva no sea epistemológicamente significativa. Los enunciados elementales evidentes, en particular los extraídos de la aritmética, imponen una severa restricción a las teorías axiomáticas que esta plataforma digital puede considerar como verdaderas, incluso si todos esos enunciados son fácilmente demostrables en una teoría bastante débil; por ejemplo, esta plataforma digital debería tener que rechazar como falsa una teoría que implicara que 2 + 2 ≠ 4. Los datos también restringen las teorías axiomáticas de varios autores de otra manera; contradecir los datos falsifica una teoría, pero simplemente no implicar los datos muestra que una teoría es inadecuada.

Es importante subrayar que estas observaciones no contradicen el fundacionalismo euclidiano, estrictamente hablando. esta plataforma digital no incorporó un principio de chauvinismo al fundacionalismo euclidiano, así que tal vez un euclidiano podría proporcionar un suplemento a su teoría que diera cuenta del conocimiento de varios autores sobre las proposiciones aritméticas elementales y cualquier otra cosa que esta plataforma digital quisiera contar como datos. Entonces tendrían la posibilidad de explicar los fenómenos anteriores. Demostrar la negación de un dato a partir de unos axiomas mostraría que son falsos, fracasando así en el conteo del fundacionalismo euclidiano-Verdad; y mostrar que los axiomas fracasan en derivar algunos datos mostraría que se quedaron demasiado cortos en el fundacionalismo euclidiano-Completitud.

El problema es más bien que es lo más parecido a un hecho evidente que se puede encontrar en epistemología matemática que ciertos no-axiomas se conocen sin prueba. Y el fundacionalismo euclidiano simplemente no tiene nada esclarecedor que decir sobre este hecho. Las proposiciones aritméticas elementales, en particular, no encajan en el cuadro epistemológico pintado por los principios centrales del fundacionalismo euclidiano. Incluso alguien que pensara que los axiomas de PA son evidentes por sí mismos difícilmente tendría más confianza en que 2 + 2 = 4 al enterarse de que la proposición es demostrable en PA. Más bien, deberían confiar más en que PA axiomatiza correctamente la concepción de varios autores sobre los números naturales. Así pues, el fundacionalismo euclidiano-flujo guarda silencio sobre la epistemología de los datos, y el fundacionalismo euclidiano-autoevidencia ignora una parte importante de la epistemología de los axiomas.

Al igual que se ha identificado un sustituto moderno del fundacionalismo euclidiano-Autoevidencia, se ha encontrado un sustituto moderno para el fundacionalismo euclidiano-Flujo. Los axiomas pueden transferir su buena posición epistémica a los teoremas a través de la demostración, al menos hasta cierto punto; pero además, la demostración de un dato matemático puede transferir la buena posición epistémica de ese dato al sistema de axiomas en el que se da la demostración. Proporcionar una epistemología de los axiomas en términos de los teoremas que pueden inferirse de ellos, incluida una delimitación adecuada de los datos y la explicación de su estatus epistémico, es una tarea apremiante que esta plataforma digital puede añadir a la agenda de la filosofía de las matemáticas actual.

También es posible una justificación extrínseca de segundo tipo. Este tipo de justificación es análogo al que disfrutan los postulados científicos que realzan la simplicidad, la economía, el poder unificador, etc., de las teorías a las que pertenecen. La justificación extrínseca de este tipo, en términos de virtudes teóricas, está, en matemáticas, confinada en gran medida a áreas fundacionales como la teoría de conjuntos. Aquí, los axiomas no gozan del mismo grado de justificación intrínseca que en otras áreas, como la aritmética, y tampoco todos los axiomas gozan de mucho apoyo estrictamente regresivo. Esto se aplica tanto a axiomas ampliamente aceptados, como el Reemplazo y la Elección, como a principios más especulativos, como los grandes axiomas cardinales. Aunque la teoría de conjuntos sin Sustitución ni Elección es bastante débil según los estándares de una teoría fundacional, sigue siendo muy poderosa según los estándares generales de las matemáticas, y cualquier proposición elemental que pueda considerarse plausiblemente como dato es probable que ya sea derivable en esta teoría.

Es al dar cuenta de axiomas como estos, que van más allá de las meras necesidades fundacionales, donde la justificación en términos de virtud teórica es más prominente hoy en día. Una vez más, la concepción moderna de este tipo de justificación en matemáticas se encuentra en la obra de Kurt Gödel. Como él mismo dice en 1964

“… incluso prescindiendo de la necesidad intrínseca de algún axioma nuevo, e incluso en el caso de que no tuviera necesidad intrínseca alguna, una decisión probable sobre su verdad es posible también de otra manera, a saber, inductivamente mediante el estudio de su ‘éxito’. Éxito significa aquí fecundidad en consecuencias, en particular en consecuencias “verificables”, es decir, consecuencias demostrables sin el nuevo axioma, cuyas pruebas con ayuda del nuevo axioma, sin embargo, son considerablemente más sencillas y fáciles de descubrir, y permiten contraer en una sola prueba muchas pruebas diferentes. Los axiomas para el sistema de los números reales, rechazados por los intuicionistas, han sido en este sentido verificados hasta cierto punto, debido a que la teoría analítica de los números permite con frecuencia demostrar teoremas de teoría de los números que, de forma más engorrosa, pueden ser verificados posteriormente por métodos elementales. Sin embargo, es concebible un grado de verificación mucho mayor que ése. Podrían existir axiomas tan abundantes en sus consecuencias verificables, que arrojen tanta luz sobre todo un campo y proporcionen métodos tan poderosos para resolver problemas (e incluso resolverlos de forma constructiva, en la medida en que eso sea posible) que, independientemente de si son intrínsecamente necesarios o no, tendrían que ser aceptados al menos en el mismo sentido que cualquier teoría física bien establecida.”

Esta idea ha tenido una enorme influencia. El papel de las virtudes teóricas en las matemáticas modernas, como la simplicidad de una teoría o su capacidad para resolver problemas abiertos, acelerar las pruebas y unificar áreas dispares, son ya bien conocidas. La filósofa contemporánea de las matemáticas que más ha hecho por sacar a la luz las ideas relevantes es Penelope Maddy. Como ella ha destacado, muchas de las razones extrínsecas para creer en los axiomas de ZFC y algunas de sus extensiones son mucho más ricas que la simple deducibilidad de los datos descrita por Russell. Estas razones están catalogadas en varias publicaciones.

Gracias al trabajo de Gödel, Maddy y otros, parece haberse alcanzado algo parecido a un consenso sobre cómo se justifican las teorías matemáticas fundacionales y qué aspecto tiene una buena axiomatización, al menos en forma de esbozo. Esto no significa que no haya desacuerdos sobre los detalles, ni mucho menos que no existan discusiones sobre qué candidatos a axioma cumplen los criterios. Pero en general se está de acuerdo en la forma general de un proyecto justificativo. Esa forma no coincide, ni siquiera en esbozo, con la del fundacionalismo euclidiano, que tiene tan poco que decir sobre el valor de las virtudes teóricas como sobre la justificación regresiva.

La desordenada y complicada interacción de consideraciones intrínsecas y extrínsecas que esta plataforma digital ve exhibida en la práctica matemática actual se describe con razón como la sucesora del fundacionalismo euclidiano, en teoría de conjuntos al menos. En principio (normalmente también en la práctica), la justificación de un axioma es tanto intrínseca como extrínseca, variando las proporciones exactas en función del axioma.

Hemos tocado, por necesidad, estas cuestiones muy brevemente, porque la estrella del espectáculo, en este ensayo, es el fundacionalismo euclidiano y no su sustituto contemporáneo. El debate contemporáneo en el área en la que el fundacionalismo euclidiano es más deficiente -la teoría de conjuntos, o equivalentemente cualquier fundamento de las matemáticas- adopta una forma muy diferente a la imaginada por los euclidianos. E incluso la epistemología de áreas más elementales, como la aritmética, es más complicada de lo que apreciaban los defensores del fundacionalismo euclidiano.

Datos verificados por: Mox

Recursos

Véase También

Espacio euclídeo
Geometría clásica
Geometría absoluta
Geometría analítica
Axiomas de Birkhoff
Sistema de coordenadas cartesianas
Axiomas de Hilbert
Geometría de incidencia
Lista de programas de geometría interactiva
Espacio métrico
Geometría no euclidiana
Geometría ordenada
Postulado paralelo
Teoría de tipos
Geometría no euclidiana
Teorema de la mariposa
Círculo; Matemáticas; Poliedro; Politopos regulares; Esfera

Teoremas clásicos

Teorema de la bisectriz del ángulo
Teorema de la mariposa
Teorema de Ceva
Fórmula de Herón
Teorema de Menelao
Círculo de nueve puntos
Teorema de Pitágoras

Bibliografía

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