Métodos Matemáticos para la Teoría Económica

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Previo: Diferencia entre cóncavo y convexo

Cóncavo describe las formas que se curvan hacia dentro, como un reloj de arena. La convexidad describe las formas que se curvan hacia fuera. Una función convexa tiene una primera derivada creciente, lo que hace que parezca que se inclina hacia arriba. Por el contrario, una función cóncava tiene una primera derivada decreciente que hace que se doble hacia abajo.

Matemáticas para el análisis económico

La escasez

La escasez es un problema fundamental al que se enfrentan todas las economías. No se dispone de suficientes recursos para producir todos los bienes y servicios para satisfacer los deseos humanos. Según una definición de economía citada con frecuencia por Robbins, la “economía es la ciencia que estudia el comportamiento humano como una relación entre fines y medios escasos que tienen usos alternativos”. En otros lugares esta definición de economía se sigue utilizando para definir la materia en la actualidad. Aunque esta definición es simplificada y no puede entenderse como una lista completa de temas pertenecientes a la economía, el principio de escasez desempeña ciertamente algún papel en todos los estudios económicos. Los productos escasos son aquellos que se desean y que no están disponibles libremente. La escasez de recursos no puede eliminarse, sino que hay que elegir cómo se van a utilizar los recursos.

La respuesta que dan los economistas se basa en la noción de eficiencia. En una formulación muy sencilla, significa que el fin deseado se consigue con un uso mínimo de recursos o que, con la cantidad de recursos dada, se maximiza el fin deseado. La eficiencia implica el reconocimiento de la escasez y, al mismo tiempo, el mejor uso posible de los recursos disponibles.

Los problemas de asignación óptima de recursos escasos son de especial interés en microeconomía: la teoría neoclásica del hogar y la teoría neoclásica de la empresa son dos de las principales áreas de estudio. La política económica cuantitativa, la teoría del crecimiento económico óptimo, la economía internacional y la economía medioambiental son otros campos de aplicación de la idea de la mejor asignación de los recursos escasos y, por tanto, de los modelos de optimización que han pasado a ocupar un lugar destacado en la teoría económica moderna. Los modelos de optimización son útiles para los economistas no sólo para comprender el comportamiento de los agentes económicos (es decir, en un sentido positivo), sino también en la preparación de sistemas de apoyo a la toma de decisiones para empresarios y responsables políticos (es decir, en un sentido normativo).

El problema de la programación matemática

El problema económico básico de asignar recursos escasos entre fines que compiten entre sí tiene tres componentes. En primer lugar, están los instrumentos cuyos valores puede elegir el agente económico (como un consumidor o un productor). Estas son las variables de decisión del problema. En segundo lugar, la escasez de recursos está representada por el conjunto de oportunidades o el conjunto de valores factibles entre los que elegir. Por último, los fines que compiten entre sí se describen mediante una función de criterio, denominada función objetivo, que da el valor que se asigna a cada una de las decisiones alternativas. El problema matemático en el lenguaje de la economía es el siguiente: cómo elegir los instrumentos dentro del conjunto de oportunidades para maximizar o minimizar la función objetivo.

Funciones cóncavas y convexas de una sola variable

Las nociones de concavidad y convexidad se utilizan ampliamente en la teoría económica y también son fundamentales en la teoría de la optimización. Una función de una sola variable es cóncava si cada segmento de línea que une dos puntos de su gráfico no se encuentra por encima del gráfico en ningún punto. Simétricamente, una función de una sola variable es convexa si cada segmento de línea que une dos puntos en su gráfico no se encuentra por debajo del gráfico en ningún punto.

Los economistas suelen suponer que la función de producción de una empresa es creciente y cóncava. En las dos figuras siguientes se muestran ejemplos de esta función para una empresa que utiliza un único insumo. El hecho de que esta función de producción sea creciente significa que más insumos generan más producción. El hecho de que sea cóncava significa que el aumento de la producción generado por cada incremento de una unidad del insumo no aumenta a medida que se utiliza más insumo. En la jerga económica, hay “rendimientos no crecientes” del insumo o, dado que la empresa utiliza un solo insumo, “rendimientos no crecientes a escala”. En el ejemplo de la primera de las dos figuras siguientes, el aumento de la producción generado por cada incremento de una unidad del insumo no sólo no aumenta a medida que se utiliza más insumo, sino que, de hecho, disminuye, de modo que en la jerga económica hay “rendimientos decrecientes”, no sólo “rendimientos no crecientes”, del insumo.

Las nociones de concavidad y convexidad son importantes en la teoría de la optimización porque una simple condición es suficiente (además de necesaria) para un maximizador de una función cóncava diferenciable y para un minimizador de una función convexa diferenciable. (Precisamente, todo punto en el que la derivada de una función diferenciable cóncava es cero es un maximizador de la función, y todo punto en el que la derivada de una función diferenciable convexa es cero es un minimizador de la función).

Funciones doblemente diferenciables

A menudo suponemos que las funciones de los modelos económicos (por ejemplo, la función de producción de una empresa o la función de utilidad de un consumidor) son doblemente diferenciables. Podemos determinar la concavidad o convexidad de una función de este tipo examinando su segunda derivada: una función cuya segunda derivada es no positiva en todas partes es cóncava, y una función cuya segunda derivada es no negativa en todas partes es convexa.

Funciones cóncavas y convexas de muchas variables

Conjuntos convexos

Para extender las nociones de concavidad y convexidad a las funciones de muchas variables, primero hay que definir la noción de conjunto convexo. La noción de convexidad desempeña un papel importante en la teoría y la modelización económicas. Las curvas de indiferencia utilizadas generalmente en la teoría de la demanda de los consumidores incorporan el supuesto de una tasa marginal de sustitución decreciente.

Cuanto más tenga el consumidor del primer bien, menor será la tasa marginal de sustitución de un bien por el segundo. En otras palabras, cuanto más tenga el consumidor de un determinado bien, menos importante será para él (en relación con otros bienes) una unidad extra de este bien.

En términos matemáticos, este supuesto -muy plausible desde el punto de vista del comportamiento del consumidor- significa que las curvas de indiferencia son convexas. Por otra parte, esta definición está relacionada con la propiedad de concavidad de la función de utilidad. La suposición de una tasa marginal de sustitución decreciente (y de una curva de preferencia convexa) significa que los paquetes de productos “bien equilibrados” se prefieren a los paquetes que tienen un peso importante en un producto. Si la curva de indiferencia es estrictamente convexa (no es una línea recta), cualquier combinación lineal de los dos conjuntos de bienes indiferentes será preferida a los conjuntos iniciales. El mismo tipo de función que las curvas de indiferencia en la teoría de la demanda de los consumidores desempeña una isocuanta en la teoría de la producción. Una isocuanta muestra todas las combinaciones posibles de insumos que dan lugar a una determinada cantidad de producción. Bajo el supuesto de la tasa decreciente de sustitución técnica, las isocuantas deben ser convexas.

Funciones diferenciales cóncavas y convexas

La gráfica de una función cóncava de una sola variable se encuentra en todas partes sobre o debajo de todas sus tangentes. La generalización de este resultado a las funciones cóncavas de muchas variables dice que la gráfica de dicha función está en todas partes sobre o debajo de todos sus planos tangentes. Al igual que en el caso de una función de una sola variable, se obtiene un resultado simétrico para las funciones convexas. Al igual que el resultado para funciones de una sola variable, se utiliza para demostrar que los puntos estacionarios son maximizadores globales de funciones cóncavas y minimizadores globales de funciones convexas.

Basado en la experiencia de varios autores, mis opiniones, perspectivas y recomendaciones se expresarán a continuación (o en otros lugares de esta plataforma, respecto a las características en 2026 o antes, y el futuro de esta cuestión):

Funciones cóncavas y convexas dos veces diferenciables

Una función dos veces diferenciable de una sola variable es cóncava si y sólo si su segunda derivada es no positiva en todas partes.
Para determinar si una función dos veces diferenciable de muchas variables es cóncava o convexa, tenemos que examinar todas sus segundas derivadas parciales. Llamamos a la matriz de todas las segundas derivadas parciales el hessiano de la función.

Fundamentos de la optimización multiobjetivo

En todos los problemas de programación matemática considerados hasta ahora, hemos asumido que una función objetivo concreta, como la maximización del beneficio o la minimización del coste, estaba preestablecida por algún responsable de la toma de decisiones. Sin embargo, en general, existe una gran variedad de objetivos, como la maximización de los beneficios, los ingresos y la cuota de mercado, el aumento de la calidad medioambiental, etc. La literatura afirma que los objetivos múltiples nos rodean. Hay algunos estudios empíricos que apoyan esta hipótesis. Varios investigadores descubrieron que, en 557 grandes empresas estadounidenses, los ingresos por ventas y los beneficios eran los objetivos que seguían las empresas. Beedles utilizó datos de series temporales para el periodo 1929-1973 de tres grandes empresas y demostró que las empresas perseguían como objetivos los ingresos por ventas, los beneficios y el precio de las acciones.

Otro investigador analizó la importancia de los distintos objetivos en el conjunto relativamente amplio de objetivos de una empresa. El Premio Nobel de Economía de 1994, Reinhard Selten, refiriéndose a los nuevos desarrollos en este campo, declaró al periódico austriaco Die Presse que “En las empresas todavía es más necesario tener en cuenta que se enfrentan a múltiples objetivos” (28 de julio de 2001; traducido del alemán).

En la literatura desde fines de los años 70 se puede encontrar una amplia gama de contribuciones teóricas y empíricas al análisis de decisiones de objetivos múltiples. Por ejemplo, un estudio bibliográfico revela más de 1.200 artículos revisados publicados sobre la toma de decisiones con criterios múltiples sólo entre 1987 y 1992. La mayoría de las aplicaciones se sitúan en el plano microeconómico (evaluación de proyectos y planes, elaboración de presupuestos de capital, planificación financiera y de inversiones, política de marketing, etc.). Pero el análisis de la política macroeconómica también tiene una larga historia en el tratamiento de los objetivos múltiples.

Revisor de hechos: Mix

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