Número o Números

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Números

La idea intuitiva de los números debe remontarse al surgimiento mismo del pensamiento, y es imposible saber qué homínido, y cuándo, empezó a contar (sus dedos, las personas de su grupo, los animales, los días, etc.), o al menos a distinguir uno de dos o más.

Los números están implicados en la mayoría de las actividades humanas, desde las lenguas que impregnan hasta los cálculos que los utilizan, sin olvidar el comercio, los rituales, etc.

Idea común de número

Un número es algo abstracto que permite decir si hay mucho, poco o nada de algo, y cuánto; por tanto, se utiliza para contar, lo que a menudo va implícitamente unido a la clasificación. Si, por ejemplo, vemos tantos tulipanes como dedos tiene una mano humana, diremos que hay cinco tulipanes y cinco dedos, pero no sumaremos los tulipanes y los dedos. Por otra parte, cinco tulipanes y cinco rosas forman diez flores. Un número, utilizado de este modo delante de un sustantivo, es gramaticalmente un adjetivo numeral cardinal: expresa cuántas entidades hay designadas por ese sustantivo. Utilizado solo, un número es un sustantivo y designa algo más abstracto: «cinco» es un número, una idea abstraída de cualquier determinación particular. Para los objetos divisibles, también utilizamos números «con punto decimal»: 2,57 litros de agua.

La idea de número está profundamente arraigada en la estructura de varias lenguas naturales. El número es una categoría gramatical caracterizada por la cantidad designada por una palabra. El francés moderno distingue entre singular y plural (para una cantidad igual o superior a dos: deux litres, pero 1,99 litros es singular). El dual, que designa dos entidades al mismo tiempo, existe en lenguas como el griego antiguo y el sánscrito, o sobrevive para algunas palabras en ciertas lenguas, como el bretón [lagad, «ojo» (singular); an daoulagad, «ambos ojos» (dual); lagadoù, «ojos» (plural); daoulagadoù, «pares de ojos» (plural de un dual)]. En Australia, algunas lenguas aborígenes también distinguen un triel, que se aplica a tres entidades. Estos números pueden referirse a sustantivos, adjetivos, verbos u otras categorías de palabras.

El estudio del simbolismo de los números, y de las representaciones y rituales que los pueblos del mundo les han atribuido, es un campo inmenso que toca diversas disciplinas: etnología, folclore, psicología, etc. El mismo simbolismo puede encontrarse entre pueblos geográficamente muy alejados. Por ejemplo, en el Bhagavadgītā, un ilustre poema sánscrito fragmento del Mahābhārata, «la fortaleza con nueve puertas» se refiere al cuerpo humano (con sus nueve aberturas: los dos ojos, las dos orejas, las dos fosas nasales, la boca, el orificio sexual y el ano), y los Ful’be (más conocidos como los Peul) de África Occidental también hablan de las «siete aberturas» de la cabeza, las «nueve aberturas» del cuerpo humano y las «once aberturas» de la mujer lactante.

Numeración

Expresar los números para comunicarse con los demás, llevar un registro de ellos o calcular es la finalidad de la numerología. Geneviève Guitel, en Histoire comparée des numérations écrites (1975), las clasifica en figurativas (mediante nudos de colores, como los del quipu inca, piedras u otros objetos), habladas o escritas, agrupando estas últimas en tres categorías principales: adición, híbrido o posición.

Parece que todas las lenguas tienen palabras para uno, dos y tres, pero que algunas no van más allá. Entre los nombres inventados en la antigüedad, el que designa el número mayor parece ser una palabra sánscrita que significa10421.
En la numeración escrita por adición, de la que hay ejemplos en Sumeria, Egipto, la antigua China e India y entre los aztecas, los símbolos se colocan libremente y sus valores numéricos se suman. Se puede encontrar una inscripción de este tipo en una cabeza de garrote atribuida al rey Narmer (periodo predinástico, es decir, antes del 5600 a.C. según la larga cronología del periodo dinástico). C. según la cronología larga de André Pochan), descubierta en el templo de Hierakonpolis, ciudad de la orilla izquierda del Nilo: en numeración jeroglífica, debajo y al lado de una cabra, están dibujados un dios sentado con los brazos levantados (un millón), cuatro renacuajos (cuatro veces cien mil), dos dedos levantados (dos veces diez mil) y dos flores de loto (dos veces mil), lo que significa un millón cuatrocientas veintidós mil cabras. La numeración silábica de Āryabhạta (India, siglo dela vida ) es de este tipo; tiene 462 signos, uno de los cuales vale 1018.

En las numeraciones escritas híbridas, como las que se encuentran entre los acadios o en las estelas mayas, las posiciones de los símbolos o dígitos sólo están determinadas parcialmente.

En la numeración escrita posicional, encontrada por ejemplo antes del año 2000 a.C. en la antigua Babilonia (donde derivaba del numeral sumerio con dos bases), los dígitos están unidos entre sí y hay una base (a menudo diez), cuyas distintas potencias se utilizan para expresar los números.

En el lenguaje matemático actual, podemos decir que una numeración de posición escrita en base b utilizando el cero emplea dígitos b, y que un entero natural escrito en esta base anan-1…a1a0, donde cada uno de los ai (i perteneciente a {0, 1, …,n}) es uno de estos dígitos, es igual a anbn+an-1bn-1+ … +a1b+a0 (como resultado, la base b se escribe como «10» en base b). Los ordenadores trabajan en base dos, y cuando consideramos bases superiores a diez, añadimos letras a los dígitos de 0 a 9 (por ejemplo α para diez y β para once, en base doce). Las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación, división) se realizan obviamente escribiendo los números en cuestión en la misma base.

Noción matemática de número

La fundamentación de la teoría de conjuntos por Georg Cantor a finales del siglo XIX dio una definición matemática precisa de número.

En el marco de un sistema axiomático de teoría de conjuntos, generalmente el de Zermelo y Fraenkel, los conjuntos de números se definen unos a partir de otros, como una construcción abstracta, siendo los propios números conjuntos particulares.

Sin embargo, hay que hacer dos puntualizaciones. Por un lado, son posibles varias construcciones, que dan diferentes definiciones de los números, pero esto no tiene consecuencias negativas para la mayoría de los razonamientos posteriores. Por otra parte, algunos matemáticos no aceptan que un número pueda ser un conjunto, y consideran que estas construcciones no definen los números, sino que dan representaciones de conjunto de los mismos. Para no quedarse con la simple intuición del lenguaje cotidiano, proponen considerar, como se hizo para la noción de conjunto, la noción de número como una noción primaria, no definida, pero cuyas propiedades estarían enmarcadas por un sistema axiomático. Pero esta postura complicaría los fundamentos de las matemáticas al introducir un sistema axiomático adicional, ya que ello no significaría prescindir de una axiomatización de la teoría de conjuntos.

Más concretamente, un número en sentido común es un objeto de estudio matemático -y no un objeto matemático- que está representado por un número en sentido matemático, siendo este último un objeto matemático que es un conjunto.
La construcción más frecuentemente adoptada parte del conjunto vacío (Ø), conjunto que no contiene ningún elemento y cuya existencia es un axioma de la teoría de conjuntos.

Según la definición dada por John von Neumann en los años 20, el conjunto de los números naturales ℕ tiene como elementos 0 = Ø, 1 = {Ø} = {0}, 2 = {Ø, {Ø}} = {0, 1}, …, «sucesor de n » = {0, 1, 2, …,n}, etc., denotándose el sucesor de n como n+ 1 en cuanto se ha definido la suma habitual en ℕ.

Como restar b de a no es posible en ℕ si b es mayor que a, construimos el conjunto de enteros relativos ℤ cuyos elementos son conjuntos de pares de elementos de ℕ, de modo que una nueva resta siempre es posible allí.
Como dividir p por q (q ≠ 0ℤ, el «cero» de ℤ) no siempre es posible en ℤ, construimos el conjunto de números racionales ℚ, cuyos elementos son conjuntos de pares de elementos de ℤ, de tal manera que una nueva división siempre es posible allí (excepto por 0ℚ, el «cero» de ℚ).

Una sucesión de Cauchy de elementos de ℚ -es decir, una función f de ℕ a ℚ tal que, sea cual sea ε > 0ℚ, existe un M perteneciente a ℕ tal que, sean cuales sean m y n mayores que M, el valor absoluto de f(m) -f(n) es menor que ε – no siempre tiene un límite cuando n tiende a + ∞ (más infinito), construimos el conjunto de números reales ℝ, que tiene por elementos conjuntos de secuencias de Cauchy de elementos de ℚ, tales que cualquier secuencia de Cauchy de elementos de ℝ tiene un límite cuando n tiende a + ∞.

Como los números reales negativos (menores que 0ℝ) no tienen raíz cuadrada, definimos una suma y una multiplicación particulares en el producto cartesiano ℝ×ℝ, al que llamamos conjunto de números complejos ℂ, tal que todo número complejo tiene raíz cuadrada.

Los números son esenciales para muchas actividades humanas y son objeto de muchas investigaciones, que se han acelerado desde el siglo XX. Tal es el caso de la carrera por el récord del mayor número primo conocido (un número entero natural divisible sólo por 1 y por sí mismo), que obviamente utiliza ordenadores: el récord establecido en noviembre de 2003 fue batido en mayo de 2004 por el número 224.036.583 – 1, escrito en base diez con 7.235.733 dígitos.

Revisor de hechos: EJ

Número Árabe

Números hindúes-árabes, o números árabes, son un conjunto de 10 símbolos – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 – que representan números en el sistema de numeración decimal. Aparecieron por primera vez en la India en el siglo VI o VII y se introdujeron en Europa hacia el siglo XII gracias a los escritos de matemáticos de Oriente Próximo como al-Jwarizmi y al-Kindi. Supusieron una profunda ruptura con los métodos de recuento anteriores, como el ábaco, y allanaron el camino para el desarrollo del álgebra.

Revisor de hechos: Brite y Mox

Percepción de los Números en Psicología

Nuestra percepción tiene en cuenta muy a menudo las cantidades. En el supermercado, por ejemplo, evaluamos cuántas personas hay en las cajas para saber cuál elegir; estimamos rápidamente el cambio que nos dan o, cuando viajamos en un grupo pequeño, nos aseguramos de que están todos. Esta capacidad de percibir cantidades, de cuantificar conjuntos, ha sido objeto de numerosos estudios.

Tres sistemas de cuantificación

En 1908, el psicólogo francés Benjamin Bourdon ideó el primer experimento para medir el tiempo necesario para cuantificar nubes de puntos. Utilizando una fuente de luz y tarjetas perforadas, su ayudante controlaba la presentación de los puntos de luz. Bourdon indicaba entonces el número de puntos que veía lo más rápidamente posible. Se le colocaron entre los dientes dos láminas metálicas conectadas a un circuito eléctrico para registrar el momento preciso en que abría la boca y daba su respuesta.

Los resultados de este experimento pionero se han reproducido muchas veces. Ponen de manifiesto distintos regímenes de cuantificación, según el tamaño o «numeración» de los conjuntos presentados. Para conjuntos muy pequeños (de 1 a 4 puntos), las respuestas son muy rápidas y precisas, y el tiempo de respuesta no depende del número de puntos: esto se conoce como subitización, para expresar la idea de que la numeración se percibe inmediatamente, sin tener que descomponer el conjunto. Para los conjuntos de tamaño medio (entre 4 y 10 ó 15 puntos, según el tiempo de presentación), las respuestas siguen siendo precisas, pero los tiempos de respuesta aumentan con el tamaño del conjunto que hay que cuantificar: el observador cuenta los puntos. Por último, para conjuntos grandes, los tiempos de respuesta se estabilizan, pero las respuestas se vuelven cada vez más imprecisas: es el régimen de estimación.

La estimación de los números, nuestro “sentido de los números”

Aunque imprecisas, las estimaciones producidas están vinculadas a los números presentados: cuando se presentan más puntos, las personas responden utilizando un número mayor. Esta capacidad de percibir los números de forma rápida pero aproximada ha sido objeto de numerosos estudios. Ahora sabemos que la percepción de los números sigue la ley de Weber, al igual que otros continuos perceptivos: nuestra capacidad para distinguir entre dos números depende de la relación entre estas dos cantidades. Así, es tan fácil distinguir 16 puntos de 32 puntos como 8 puntos de 16 (relación 1:2); en cambio, es más difícil distinguir 16 puntos de 24 puntos (relación 2:3). Otros experimentos demuestran que podemos percibir los números de distintas maneras: tanto si los conjuntos se presentan visualmente en forma de nubes de puntos, como si se presentan auditivamente en forma de una serie de sonidos, las respuestas tienen las mismas características. Por último, esta capacidad de percibir cantidades numéricas está presente en los seres humanos desde una edad temprana (desde las primeras horas de vida) y se va perfeccionando progresivamente durante la infancia. También está presente en muchas especies animales, incluidos ciertos mamíferos como los monos, los perros y los delfines, así como otras especies más alejadas de nosotros, como los peces, los polluelos, las abejas, etc.

Hasta la fecha, los mecanismos cognitivos implicados en la percepción numérica siguen siendo poco conocidos. Se han identificado varios sesgos: por ejemplo, tendemos a estimar que hay más puntos cuando ocupan más espacio, cuando son más pequeños o cuando están colocados de forma más regular. Sin embargo, no sabemos si nuestro sistema visual percibe la numeración directamente, o si la calcula a partir de parámetros más sencillos, como el tamaño del conjunto o el de cada elemento. En cualquier caso, desde el punto de vista del observador, la numeración es una dimensión destacada: es más fácil prestar atención a la numeración que, por ejemplo, a la superficie cubierta por los puntos, incluso para los niños o las personas sin formación en aritmética. Además, la numeración es una dimensión elemental de nuestra percepción. Por tanto, podemos observar efectos de adaptación visual para la numeración, similares a los efectos observados para otras dimensiones elementales, como el color. Si miramos fijamente durante mucho tiempo una escena con una zona clara y otra oscura, y luego apartamos la vista, percibimos la huella negativa de la escena que mirábamos inicialmente: una mancha oscura donde estaba la zona clara, y una mancha clara donde estaba la zona oscura. Del mismo modo, si miras fijamente durante mucho tiempo un conjunto de pocos puntos, luego tendrás la impresión de que los conjuntos siguientes contienen más puntos de los que en realidad contienen.

A nivel cerebral, la percepción de las cantidades depende de una región del surco intraparietal, situada bilateralmente en la parte posterior y superior de nuestra cabeza. Aquí es donde reconocemos las características de nuestra percepción de las cantidades: la actividad de esta región está modulada por la relación entre cantidades, y no, por ejemplo, por el tipo de objetos presentados. En los adultos, el surco intraparietal responde tanto a cantidades concretas (conjuntos de puntos) como a símbolos numéricos (números). En los niños, la actividad en esta misma región se detecta a la edad de cuatro años. Por tanto, esta región parece estar predispuesta a responder a los números a una edad muy temprana. Su campo de actividad se extiende después a los símbolos que se refieren a cantidades.

Basado en la experiencia de varios autores, mis opiniones, perspectivas y recomendaciones se expresarán a continuación (o en otros lugares de esta plataforma, respecto a las características en 2026 o antes, y el futuro de esta cuestión):

Sentido numérico y matemáticas

Más allá de la mera percepción de las cantidades, nuestro «sentido numérico» también nos permite realizar cálculos aritméticos sobre conjuntos concretos: sumas, restas, cálculos de proporciones, etc. Estas capacidades están presentes tanto en adultos como en niños, en culturas industrializadas, pero también entre pueblos que hablan lenguas muy diferentes y en los que hay pocas palabras para designar cantidades (como en la Amazonia). Pueden guiar el aprendizaje cuando los niños están en la escuela. Por ejemplo, en cuanto aprenden a asociar símbolos y cantidades, los niños de guardería son capaces de hacer cálculos aproximados utilizando símbolos: pueden adivinar que 27 + 55 es más que 38, por ejemplo, sin dar el resultado exacto de esta operación. También se ha comprobado que los niños con una percepción más fina de las cantidades suelen obtener mejores resultados en matemáticas en la escuela. Queda por dilucidar la relación causa-efecto: ¿una mejor percepción de las cantidades hace que los niños tengan más inclinación por las matemáticas? Y a la inversa, ¿ayuda el aprendizaje de las matemáticas a afinar la percepción de las cantidades, sobre todo en los niños que tienen aptitudes para ello en la escuela?

Revisor de hechos: EJ

Número en Derecho

Numero en el Derecho Social

El legislador ha querido, en gran parte por necesidad y conveniencia social y política, establecer topes mínimos o máximos, con variadas consecuencias normativas: para poder sesionar válidamente los órganos gremiales; para obtener el carácter de suficiente representatividad correspondiente al sindicato; determinar zona de actuación o el número de delegados, etc. [1]

Número en la Enciclopedia Jurídica Omeba

Véase:

• Entradas de la Enciclopedia Jurídica Omeba
• Enciclopedia Jurídica Omeba (incluido Número)

Números y el Sistema Numérico

Los números son los símbolos utilizados para representar números pequeños, y los sistemas numéricos son colecciones de estos símbolos con sistemas de reglas para representar números mayores.

Al igual que los primeros intentos de escritura aparecieron mucho después de que se desarrollara el lenguaje, los primeros intentos de representar gráficamente los números aparecieron mucho después de que la gente aprendiera a contar. La primera forma de registrar un número fue probablemente un sistema de recuento que utilizaba objetos físicos como guijarros o palos. A juzgar por las costumbres de los pueblos indígenas actuales, así como por los primeros vestigios de documentos escritos o tallados, los primeros números fueron simples muescas en un palo, arañazos en una piedra, marcas en un trozo de cerámica, etc. Sin unidades fijas de medida, sin monedas, sin comercio más allá del trueque más rudimentario, sin sistema de impuestos y sin más necesidades que las de subsistencia, el hombre no necesitó cifras escritas hasta el comienzo de lo que se conoce como tiempo histórico. Probablemente se utilizaron sonidos vocales para indicar el número de objetos de un grupo pequeño mucho antes de que existieran símbolos separados para los números pequeños, y parece probable que los sonidos difirieran según el tipo de objeto que se contara. La noción abstracta de dos, significada oralmente por un sonido independiente de los objetos concretos, probablemente apareció muy tarde.

Bases numéricas

Cuando se hizo necesario contar con frecuencia hasta números superiores a 10, más o menos, hubo que sistematizar y simplificar la numeración; esto solía hacerse utilizando una unidad de grupo o base, igual que hoy se cuentan 43 huevos como tres docenas y siete. De hecho, los primeros numerales de los que se tiene constancia eran simples marcas rectas para los números pequeños, con una forma especial para el 10. Estos símbolos aparecieron en Egipto ya en el 3400 a.C. y en Mesopotamia en el 3000 a.C., mucho antes de las primeras inscripciones conocidas que contenían números en China (c. 1600 a.C.), Creta (c. 1200 a.C.) e India (c. 300 a.C.). Aquí se muestran algunos símbolos antiguos para el 1 y el 10.

La posición especial del 10 se debe, por supuesto, al número de dedos humanos, y sigue siendo evidente en el uso moderno, no sólo en la estructura lógica del sistema numérico decimal, sino también en los nombres ingleses de los números.

Revisor de hechos: Brite y Mox

Recursos

Notas y Referencias

1. Eduardo Giorlandini y Rodolfo Capon Filas, Diccionario de derecho social: derecho del trabajo y la seguridad social: relaciones colectivas profesionales, voz “Numero”, (autor de la voz: E. G.), Rubinzal-Culzoni Editores, Argentina, 1991

Véase También

Traducción al Inglés

Traducción al inglés de Número: Number.

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