Sistema Axiomático

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Sistema Axiomático

Forma de llegar a una teoría científica en la que ciertas absorciones primitivas, los llamados axiomas (cf. Axioma), se postulan como base de la teoría, mientras que las restantes proposiciones de la teoría se obtienen como consecuencias lógicas de estos axiomas.

En matemáticas, el método axiomático tiene su origen en los trabajos de los antiguos griegos sobre geometría. El ejemplo más brillante de la aplicación del método axiomático -que siguió siendo único hasta el siglo XIX- fue el sistema geométrico conocido como los Elementos de Euclides (ca. 300 a.C.). En aquella época aún no se había planteado el problema de la descripción de las herramientas lógicas empleadas para derivar las consecuencias de un axioma, pero el sistema euclidiano era un intento muy claro de obtener todos los enunciados básicos de la geometría por derivación pura basada en un número relativamente pequeño de postulados – axiomas – cuya verdad se consideraba evidente por sí misma.

El descubrimiento de una geometría no euclidiana por N.I. Lobachevskii y J. Bolyai a principios del siglo XIX estimuló un mayor desarrollo del método axiomático. Demostraron que si el tradicional, y aparentemente el único “objetivamente verdadero” , quinto postulado de Euclides relativo a las rectas paralelas se sustituye por su negación, es posible desarrollar de forma puramente lógica una geometría tan elegante y con tanto sentido como la geometría euclidiana. La atención de los matemáticos del siglo XIX se dirigió así hacia la manera deductiva de construir teorías matemáticas; esto a su vez dio lugar a un nuevo problema, relacionado con el concepto del método axiomático en sí y con la teoría matemática formal (axiomática). Con el número gradualmente creciente de teorías matemáticas que habían sido derivadas axiomáticamente – se puede, en particular, mencionar la derivación axiomática de la geometría elemental por M. Pasch, G. Peano y D. Hilbert que, a diferencia de los Elementos de Euclides, es lógicamente inobjetable, y el primer intento de Peano de axiomatización de la aritmética – el concepto de sistema axiomático formal se hizo más riguroso (véase más adelante), dando lugar a una clase de problemas específicos que acabaron por establecer la teoría de la demostración como uno de los capítulos principales de la lógica matemática moderna.

Ya en el siglo XIX se reconoció la necesidad de crear fundamentos para las matemáticas y para los problemas matemáticos relevantes. Fue principalmente en el análisis donde los conceptos básicos se hicieron más precisos, y donde las ideas más complejas se redujeron a conceptos más simples mediante métodos que implicaban un razonamiento lógico cada vez más riguroso los conceptos de la teoría de funciones de B. Bolzano y K. Weierstrass, y el continuo de G. Cantor y R. Dedekind). Asimismo, el descubrimiento de las geometrías no euclidianas estimuló el desarrollo del método axiomático, el desarrollo de nuevas ideas y la postulación de problemas matemáticos más generales, principalmente los relacionados con conceptos de una teoría axiomática arbitraria, como la consistencia, la completitud y la independencia de un sistema de axiomas dado.

Naturalmente, cabe esperar que este método de formalización permita construir todos los elementos significativos de cualquier teoría matemática sobre la base precisa y aparentemente fiable que representa el concepto de fórmula derivable (un teorema del sistema formal), y resolver problemas fundamentales como el de la consistencia de la teoría matemática demostrando las afirmaciones correspondientes sobre el sistema formal que formaliza dicha teoría. Dado que los sistemas formales del tipo que acabamos de describir son objetos matemáticos exactos, o “finíticos” , utilizando el término empleado por la escuela de Hilbert, cabría esperar que fuera posible obtener pruebas finíticas de las afirmaciones de consistencia, es decir, pruebas que en cierto sentido fueran eficaces, es decir, independientes de herramientas tan poderosas como, por ejemplo, la abstracción del infinito real (que es una de las razones de las dificultades encontradas en los fundamentos de las teorías matemáticas clásicas). Así, la exigencia de que las herramientas empleadas para llegar a resultados relativos a los sistemas formales, y en particular a su consistencia, fueran finitistas, representaba una característica habitual del programa formalista de Hilbert. Sin embargo, los resultados obtenidos por K. Gödel a principios de la década de 1930 frustraron las principales expectativas basadas en este programa. Gödel demostró que

1) Cualquier formalización natural consistente de la aritmética o de cualquier otra teoría matemática que implique aritmética (por ejemplo, la teoría de conjuntos) es incompleta y no puede completarse en el sentido de que a) S
contiene (verdaderas con respecto a su contenido) fórmulas irresolubles.

2) Si la aritmética formal es de hecho consistente, entonces, aunque el enunciado de su consistencia es expresable en su propio lenguaje, es imposible demostrar este enunciado por los métodos de la propia aritmética formalizada.

Esto significa que, incluso en el caso de la aritmética, es intrínsecamente imposible agotar todos sus enunciados verdaderos en cuanto al contenido mediante una clase de fórmulas derivables de cualquier sistema formal, y que no hay esperanza de obtener ninguna prueba finitista de la consistencia de la aritmética, ya que parece que cualquier precisión razonable del concepto de una prueba finitista es formalizable en la aritmética formal.

Todo esto impone limitaciones definitivas a las posibilidades del método axiomático en la forma que adopta en el marco del formalismo de Hilbert. Sin embargo, dentro de estos límites sigue desempeñando un papel importante en los fundamentos de las matemáticas. Así, con posterioridad a la publicación de los resultados de Gödel, él mismo (1938-1940) y P. Cohen (1963), basándose en el enfoque axiomático con el uso del método de interpretación, obtuvieron resultados fundamentales sobre la compatibilidad e independencia mutua del axioma de elección y la hipótesis del continuo en la teoría de conjuntos.

Revisor de hechos: Warerns

La Axiomatización Descriptiva y el fundacionalismo euclidiano

Nota: Como uno de los precursores del funacionalismo, véase este tema en Descartes.

La literatura llama axiomatización descriptiva a una axiomatización diseñada para poner estructura lógica a un conjunto de hechos o datos. Estos hechos pueden ser, por ejemplo, las verdades de la aritmética, de la geometría o de algún otro campo de las matemáticas; o pueden ser las verdades de todas las matemáticas; o de una ciencia no matemática, como la física o la economía, o de uno o varios de sus subcampos.

Caracterizan la axiomatización descriptiva de la siguiente manera cuádruple:

• La axiomatización tiene lugar generalmente sobre el trasfondo de un conjunto de datos.
• Los elementos de este conjunto son las sentencias comúnmente aceptadas pertenecientes a un campo temático determinado.
• El objetivo básico de la axiomatización es organizar deductivamente un conjunto de datos.
• Para cumplir el punto anterior plenamente, los axiomas de una axiomatización propuesta deben ser descriptivamente completos, es decir, todos los elementos del conjunto de datos deben ser deducibles de los axiomas.

¿Cómo se relaciona la axiomatización descriptiva con el fundacionalismo euclidiano? Sus tres primeros principios no están incorporados al fundacionalismo euclidiano, y uno puede imaginarse a alguien que acepte el fundacionalismo euclidiano sin respaldar ninguno de ellos. Un fundacionalista euclidiano no necesita comprometerse a que exista un conjunto de datos de fondo (principio 1), ni a que sus elementos sean oraciones comúnmente aceptadas (principio 2), ni a que el propósito de la axiomatización sea organizar los datos (principio 3). Pero aunque la caracterización de varios autores del fundacionalismo euclidiano no descarta una presentación euclidiana ab initio, en la práctica los axiomas se dan para una rama de las matemáticas que ya se encuentra en cierto estado de madurez, y la intención en los Elementos de Euclides y sus sucesores no es simplemente hacer descubrimientos matemáticos demostrando teoremas novedosos, sino derivar las sentencias comúnmente aceptadas de algún área temática. Dados esos antecedentes, un euclidiano suscribirá en la práctica de forma bastante natural, aunque no necesariamente, algo así como los tres primeros principios de la axiomatización descriptiva. (La afirmación de que la función organizadora de la axiomatización es la función básica presumiblemente tendría que debilitarse). En cuanto al cuarto principio de la axiomatización descriptiva, está integrado en el fundacionalismo euclidiano: la exhaustividad: los teoremas se derivan de los axiomas, que junto con las reglas deben ser suficientes para inferir todos los teoremas relevantes.

A diferencia de los partidarios de la axiomatización descriptiva, los euclidianos insisten en el significado epistemológico de la estructura organizativa en términos del flujo de algún bien epistémico. Esta es una diferencia central entre el fundacionalismo euclidiano y la axiomatización descriptiva. Según la perspectiva fundacionalista del fundacionalismo euclidiano, la relación epistémica que esta plataforma digital guarda con los axiomas es primordial, y el conocimiento de los axiomas por parte de varios autores explica el conocimiento de los teoremas por parte de varios autores o, como mínimo, la inferencia de los teoremas a partir de los axiomas mejora la posición epistémica de los primeros. La axiomatización descriptiva no contiene ningún análogo de este principio; es bastante coherente con la axiomatización descriptiva que la relación epistémica de varios autores con los datos sea primaria, y que el conocimiento de varios autores de los axiomas se deba al hecho de que los datos sean deducibles de ellos. Por ahora vale la pena señalar que en una teoría euclidiana los teoremas derivados no desempeñan una función epistemológica análoga al papel de los datos en las ciencias observacionales.

En términos más generales, en comparación con el fundacionalismo euclidiano, la axiomatización descriptiva es relativamente ligera en filosofía. Describe un ideal que un lógico o un matemático podría suscribir sin incurrir en muchos compromisos epistemológicamente controvertidos. En efecto, una colección miscelánea de hechos sobre ángulos no constituye una ciencia. Para reducirla a una ciencia, el primer paso es hacer lo que hizo Euclides en geometría, es decir, seleccionar un pequeño número de los hechos dados como axiomas, y luego demostrar que todos los demás hechos pueden deducirse de estos axiomas por los métodos de la lógica formal.

Basado en la experiencia de varios autores, mis opiniones, perspectivas y recomendaciones se expresarán a continuación (o en otros lugares de esta plataforma, respecto a las características en 2026 o antes, y el futuro de esta cuestión):

Estas observaciones expresaban una visión común de los objetivos y propósitos de la axiomatización local (subcampo específico) en los siglos XIX y XX. esta plataforma digital encontramos alguna versión de la misma en diferentes escritores, aunque no todos adoptan el requisito de exhaustividad tan fuerte de Huntington.

La literatura caracteriza el método axiomático como sigue:

• Se da una lista completa de las nociones fundamentales de la teoría.
• Cualquier otra noción se reduce a las nociones fundamentales mediante una definición explícita. Estas definiciones deben ser de tal naturaleza que en todas partes, excepto en la propia definición, el definiens pueda sustituirse por el definiendum. Por consiguiente, esta plataforma digital podría en principio prescindir de las nociones definidas.
• Se da una lista completa de teoremas fundamentales (llamados axiomas).
• Todos los demás teoremas se deducen de los axiomas mediante razonamiento lógico.

Por cierto, un axioma ya no se considera una verdad indubitable, lo que distingue claramente la concepción de la axiomatización descriptiva del fundacionalismo euclidiano. Pero a pesar del declive del fundacionalismo euclidiano después del siglo XVII, un ideal contemporáneo de axiomatización inspirado en los Elementos sobrevivió al menos hasta los últimos años del siglo XX. Aunque filosóficamente ligeros en comparación, los postulados de la axiomatización descriptiva resultarían en gran medida simpáticos a los defensores del fundacionalismo euclidiano, lo que demuestra la influencia duradera, aunque menguante, de esta forma de pensar sobre las matemáticas.

Datos verificados por: Mox

Recursos

Véase También

• Nomenclatura
• Estadística de la UE
• Estadística oficial
• Estadística económica
• Sondeo
• Estadística
• Censo
• Distribución geográfica
• Ratio
• Método estadístico
• Estadística regional
• Estadística internacional
• Estadística nacional
• Cálculo científico
• Simulación
• Geometría

Esquema axiomático – Notación abreviada para un conjunto de afirmaciones que se consideran verdaderas
Formalismo – Opinión de que las matemáticas no representan necesariamente la realidad, sino que se parecen más a un juego
Teoremas de incompletitud de Gödel – Resultados limitativos en lógica matemática
Sistema de deducción de Hilbert – Sistema de deducción formal en lógica
Historia de la lógica
Lista de sistemas lógicos
Logicismo – Programa en la filosofía de las matemáticas
Axiomas matemáticos, Sistemas formales, Métodos de demostración

Recursos

Traducción al Inglés

Traducción al inglés de Matemáticas: Mathematics

Véase También

Matemáticas, Lógica Matemática, Fundamentos matemáticos, Análisis, Teoría de los números

Bibliografía

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