Euclides

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Euclides y su Fundacionalismo

Nota: Véase Epistemología Jurídica, el fundacionalismo euclidiano, la Epistemología Aristotélica, y el Fundacionalismo de Descartes.

Puesto que el fundacionalismo euclidiano toma su nombre de Euclides, quienquiera que haya sido, se analiza su figura en este contexto antes de examinar más detenidamente a Aristóteles en otro lugar.

Una parte de la bibliografía expuso el fundacionalismo euclidiano basándose en la caracterización de Lakatos y no en los propios Elementos de Euclides (c. 300 a.C.). La razón es que este último enfoque nos habría dado muy poco en lo que basarnos. Pues, como han señalado muchos comentaristas, Euclides no nos ofrece ninguna glosa filosófica sobre su método. De hecho, sus comentarios sobre sus objetivos y métodos son incluso más parcos que los que se pueden encontrar en los típicos libros de texto formales de hoy en día, no conocidos por sus asideros epistemológicos. Euclides utiliza ocasionalmente términos epistemológicos, por ejemplo cuando concluye un argumento diciendo que, sobre la base de lo que se ha demostrado, ahora es “manifiesto” (φανερóν) que tal y tal cosa. Sin embargo, tal lenguaje no es más que sugestivo y difícilmente constituye una expresión elaborada del fundacionalismo euclidiano. Puede que Euclides sea uno de los matemáticos más elocuentes de todos los tiempos, pero filosóficamente es reticente. El fundacionalismo euclidiano se inspira en los Elementos, pero no en la glosa filosófica que su autor hace de lo que allí pretende.

Del mismo modo, no debe suponerse que los Elementos se ajustan a los preceptos euclidianos. El fundacionalismo euclidiano es un ideal metodológico inspirado en los Elementos, que hasta la segunda mitad del siglo XIX se creía ampliamente que lo instanciaba. Pero que un ideal se inspire en algo no significa que se corresponda estrechamente con ello. varios autores El ideal occidental de democracia se inspiró en la democracia clásica ateniense, cuyos defectos son ahora manifiestos. Del mismo modo, resulta que existe un desfase entre el ideal epistémico inspirado en los Elementos -el fundacionalismo euclidiano- y los Elementos mismos, como observará ahora esta plataforma digital. Debidamente prevenidos, consideremos los tres principios fundamentales del fundacionalismo euclidiano.

Fundacionalismo euclidiano-Verdad

Una observación importante es que muchas de las proposiciones de los Elementos (aproximadamente un tercio) son imperativales en sentido. Algunos de los postulados utilizan una forma del verbo ‘pedir’, traducible como ‘que se postule que’, para establecer una pretensión de que existe ‘una lista de peticiones no sólo hechas sino también concedidas’. Este rasgo gramatical refleja una diferencia importante en la forma en que los griegos entendían la geometría y la forma en que fue entendida posteriormente, incluso por nosotros ahora. Las proposiciones demostradas por Euclides pueden dividirse en dos grupos. El primer grupo consiste en ‘problemas’ formulados por infinitivos, por ejemplo la construcción del triángulo equilátero al comienzo mismo del Libro varios autores (Proposición 1). El segundo grupo está formado por ‘teoremas’ como el Teorema de Pitágoras, el penúltimo (Proposición 47) del Libro I. Aunque el propio Euclides no utiliza el lenguaje de ‘problemas’ frente a ‘teoremas’, muchos otros geómetras griegos sí lo hicieron para denotar la diferencia entre una construcción o acto por un lado y un hecho intemporal por otro.

Sobre una recta finita dada se trata de construir un triángulo equilátero. En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que contienen el ángulo recto.

Esta distinción entre “problemas” y “teoremas” se opone a una atribución general del fundacionalismo-verdad euclidiano. De hecho, parece un error de categoría atribuir la verdad a algo con la forma gramatical de un axioma imperatival. En contraste con Euclides, por supuesto, el fundacionalismo euclidiano concibe todos los axiomas y teoremas como directamente declarativos.

En cuanto a los axiomas declarativos (no imperativales) de Euclides, la mayoría de ellos son directamente verdaderos. Pero no todos. Hoy en día, esta plataforma digital consideraría que el quinto postulado es verdadero en los espacios euclidianos, por definición, pero no verdadero a secas. Falla en los espacios no euclidianos, que matemáticamente están al mismo nivel que los euclidianos. Y en lo que respecta a la física, la geometría del espacio real es no euclidiana. Así que ahora parece que el Postulado Paralelo no es ni evidente por sí mismo, ni siquiera cierto, en el sentido directo que antes sostenían los defensores del fundacionalismo euclidiano. En el mejor de los casos, el Postulado Paralelo es una estipulación de que la geometría que interesa a esta plataforma digital es la euclidiana. Se argumenta que los axiomas estipulativos son, en efecto, autoevidentes, pero el fracaso del Postulado Paralelo en espacios no euclidianos complica ciertamente la adscripción de verdad (y a fortiori de autoevidencia) a este axioma, tal como se ha entendido tradicionalmente.

Asimismo, a la luz de la moderna teoría de conjuntos, es natural que consideremos falsa la quinta noción común: que el todo es mayor que la parte. Esto se debe a que cualquier conjunto infinito tiene subconjuntos propios que son del mismo tamaño que él. Una réplica podría ser que esto no es lo que “mayor” debería significar aquí; si por “mayor” se entiende “superconjunto propio” entonces se respeta la noción común, ya que cualquier conjunto, infinito o finito, es un superconjunto propio de cualquiera de sus subconjuntos propios (esta es la interpretación correspondiente de “parte”). Pero la cuestión es que en la lectura contemporánea predominante de ‘mayor que’, la quinta noción común del Libro I es falsa. Un punto similar se aplica a la tercera noción común.

Fundacionalismo euclidiano-Autoevidencia

Atribuir autoevidencia a la permisibilidad de una construcción como la de un triángulo equilátero sería un error de categoría. Pero supongamos que esta plataforma digital sí considera, anacrónicamente, versiones no dinámicas de los axiomas de Euclides (postulados y nociones comunes). Digamos que esta plataforma digital “proposiciona” su contenido y convierte las construcciones en proposiciones atemporales del tipo con el que comercian las matemáticas modernas, sustituyendo el lenguaje dinámico del texto por un vocabulario estático. Esto, como se acaba de explicar, constituiría un alejamiento significativo de la práctica de Euclides (y de todos los antiguos geómetras griegos). Dicho esto, esta plataforma digital aún puede plantearse la pregunta: ¿serían evidentes por sí mismas las proposiciones resultantes?

Aquí esta plataforma digital debe distinguir dos perspectivas: La de Euclides y la nuestra. Dado que se trata de una pregunta tan anacrónica -precisamente porque las proposiciones se han transmutado de una forma dinámica a una estática- sería difícil dar un “sí” seguro desde la perspectiva de Euclides. En cualquier caso, una respuesta así sólo puede ser muy especulativa (aunque quizá las pruebas de otras partes de la matemática griega antigua podrían ayudar). ¿Y desde la perspectiva de varios autores? Algunos ni siquiera parecen ciertos y, por tanto, están lejos de parecer evidentes.

Así pues, existe un problema categórico -debido a la cuestión del lenguaje dinámico (y la correspondiente presencia de “problemas” en la geometría griega en contraposición a “teoremas”)- a la hora de atribuir a los puntos de partida de Euclides el fundacionalismo euclidiano-verdad o el fundacionalismo euclidiano-autoevidencia. Además, desde un punto de vista moderno, al menos un puñado de los axiomas enunciados estáticamente no parecen ni directamente verdaderos ni autoevidentes (para nosotros).

Fundacionalismo euclidiano-Flujo

Si se considera que la relación de inferencia relevante entre las proposiciones del sistema es la deducción lógica, los Elementos no cumplen las normas del fundacionalismo euclidiano. De hecho, apenas hay que adentrarse en él para tropezar con una laguna lógica en el razonamiento. La primera proposición de los Elementos se refiere a la construcción de un triángulo equilátero con un segmento de línea AB dado como lado. Un ejemplo típico de problema de construcción euclidiano, permite el uso de una regla, con la que trazar una línea recta entre dos puntos, así como el uso de un compás, con el que dibujar un círculo con centro y radio dados. En su razonamiento, Euclides dibuja un círculo con radio de longitud AB centrado en A y a continuación otro círculo con radio de longitud AB centrado en B. En esta fase del razonamiento, Euclides (sin decirlo) supone que los dos círculos se encuentran. Esta propiedad de intersección entre círculos puede haber sido totalmente obvia para Euclides y para cualquiera que le leyera, pero sencillamente no se deduce de ninguno de sus postulados o nociones comunes.

Resulta que Euclides también asume el método de la superposición, que le permite mover una figura y superponerla a otra. En los Elementos se asumen tácitamente otros principios, por ejemplo, la interrelación entre los puntos de una recta. Algunas de las definiciones de Euclides también dejan mucho que desear desde una perspectiva contemporánea. Algunas de ellas, como la décima definición del Libro I, que nos dice qué es un ángulo recto, son perfectamente aceptables. Otras, sobre todo las tres primeras del mismo libro – “un punto es aquello que no tiene parte”, “una línea es la longitud sin anchura” y “los extremos de una línea son puntos”- no precisan su definienda, ya que apelan a una comprensión preexistente de las nociones que hay que definir. esta plataforma digital las consideraría ahora muletas mentales más que definiciones: demasiado vagas para consagrarlas en un relato oficial, aunque podrían acompañar útilmente a uno. De hecho, esas definiciones iniciales no parecen utilizarse en ninguna de las pruebas posteriores; sean lo que sean, no están ahí con el propósito de derivar teoremas.

Basado en la experiencia de varios autores, mis opiniones, perspectivas y recomendaciones se expresarán a continuación (o en otros lugares de esta plataforma, respecto a las características en 2026 o antes, y el futuro de esta cuestión):

A finales de la antigüedad -ciertamente en la época del Proclus del siglo V- ya se conocían varias de las lagunas y absorciones ocultas en el razonamiento de Euclides. Y las lagunas, las suposiciones implícitas y las definiciones imprecisas son, según los estándares modernos, deficiencias manifiestas. Aunque Euclides había sido alabado, de hecho cuasi apoteósico por algunos, por su rigor durante más de dos milenios, a finales del siglo XIX se hizo evidente que los Elementos, lejos de ser un dechado de rigor, eran en realidad lamentablemente poco rigurosos cuando se juzgaban con los estándares que surgieron en el transcurso de ese siglo transformador.

Pero esta plataforma digital permite que la inferencia en un sistema euclidiano sea específica para cada tema. Está claro que Euclides apela a la intuición espacial, y los Elementos, como cualquier otro texto de geometría griega, se apoyan indispensablemente en el dibujo de diagramas para su contundencia. Aunque Euclides no enumera todos los principios en los que se basa, una vez que se admite como recurso la intuición espacial asistida por el dibujo de diagramas, su razonamiento es casi estanco. Así pues, la opinión de varios autores no es en absoluto la de finales del siglo XIX de que los Elementos son defectuosos como sistema euclidiano porque sus inferencias no son todas lógicamente herméticas. Dicho esto, esta plataforma digital sí cree que falla el fundacionalismo euclidiano, pero el fundacionalismo euclidiano es un ideal inalcanzable para seres como nosotros.

Hasta aquí los tres principios fundamentales del fundacionalismo euclidiano. De los principios periféricos, se satisfacen el fundacionalismo euclidiano-Finito, el fundacionalismo euclidiano-General y el fundacionalismo euclidiano-Independencia, habiéndose discutido antes los casos potencialmente problemáticos de los postulados cuarto y quinto. Pero los Elementos no satisfacen al menos la versión más fuerte del fundacionalismo euclidiano-Completitud. No hay espacio aquí para discutir en detalle estos cuatro principios subsidiarios, así que en su lugar esta plataforma digital reitera un punto clave. Tanto si instancian el fundacionalismo euclidiano sólo en parte como si no lo hacen en absoluto, los Elementos se mantienen firmes como una obra matemática enormemente significativa. esta plataforma digital no debe confundir un ideal (PE) con una instanciación putativa del mismo (los Elementos), ni siquiera una que lo haya inspirado.

Revisor de hechos: Mox

Recursos

Traducción al Inglés

Traducción al inglés de Euclides: Euclid

Véase También

• Argumento
• Creencia
• Empirismo
• Embalaje de la evidencia
• Prueba
• Razón
• Escepticismo
• Teoría de la justificación
• Validez
• Verdad
• Lógica

Bibliografía

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