El Fundacionalismo Euclidiano

Este elemento es un complemento de los cursos y guías de Lawi. Ofrece hechos, comentarios y análisis sobre el fundacionalismo euclidiano. Véase Epistemología Jurídica, la Epistemología Aristotélica, y Fundacionalismo de Descartes.[aioseo_breadcrumbs]

Fundacionalismo Euclidiano

En una breve pieza filosófica redactada en 1934, Einstein escribe con arrobo sobre los inicios de la ciencia occidental:

“Honramos a la antigua Grecia como la cuna de la ciencia occidental. Ella creó por primera vez el milagro intelectual de un sistema lógico, cuyas afirmaciones se sucedían unas a otras con tal rigor que ni una sola de las proposiciones demostradas admitía la menor duda.”

A continuación, Einstein nombra el milagroso sistema lógico que tiene en mente y añade a modo de comentario

“Este maravilloso logro de la razón dio al espíritu humano la confianza que necesitaba para sus logros futuros”.

El sistema que Einstein tenía en mente, ya lo habrá adivinado, es el de la geometría de Euclides en los Elementos (c. 300 a.C.). Einstein es una figura reciente en una larga lista de quienes han admirado los Elementos como un dechado de método matemático. El texto de Euclides ocupó un lugar de honor en al menos tres brillantes culturas matemáticas -la griega antigua, la árabe medieval y la europea moderna temprana- y fue una piedra angular del currículo escolar en Occidente desde el Renacimiento hasta el siglo XX. Aclamados como un brillante ejemplo del método matemático, de hecho del método tout court, los Elementos engendraron cientos de imitadores, no sólo en geometría sino también en muchos otros campos.

Entonces, ¿cuál es el método de los Elementos de Euclides? Partiendo de algunas definiciones, postulados y nociones comunes, Euclides deriva la geometría de su tiempo teorema a teorema, de forma acumulativa a lo largo de trece libros. Los postulados y nociones comunes del Libro I son los siguientes:

Postulados

Postulemos lo siguiente

• Trazar una línea recta de cualquier punto a cualquier punto.
• Para producir una línea recta finita de forma continua en una línea recta.
• Para describir un círculo con cualquier centro y distancia.
• Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
• Que, si una recta que cae sobre dos rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado sean menores que dos ángulos rectos, las dos rectas, si se producen indefinidamente, se encuentran en aquel lado en el que están los ángulos menores que los dos ángulos rectos.

Nociones comunes:

• Las cosas que son iguales a la misma cosa también son iguales entre sí.
• Si se suman iguales a iguales, los enteros son iguales.
• Si se restan iguales de iguales, los restos son iguales.
• Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
• El todo es mayor que la parte.

Euclides complementa éstas con veintitrés definiciones en Libro varios autores (omitidas aquí), entre las que se incluyen más datos sobre ángulos y triángulos.

Dada la importancia del método euclidiano para la epistemología de las matemáticas y otros campos, resulta sorprendente encontrar tan poca atención dedicada a él en la filosofía reciente. Imre Lakatos es uno de los pocos filósofos del pasado reciente que ha escrito sobre lo que él denomina “el fundacionalismo euclidiano”. Esta plataforma digital utilizará la caracterización de Lakatos como trampolín para la nuestra y adoptará su nombre, abreviando “Programa Euclidiano” como “PE”. Los epistemólogos han examinado, por supuesto, el fundacionalismo de forma más general, pero han descuidado su instancia más específica, e históricamente dominante: el fundacionalismo euclidiano tal y como se ha concebido a lo largo de los siglos. En contra de esta tendencia, el presente ensayo se dedica a examinar el fundacionalismo euclidiano.

En primer lugar, esta plataforma digital debe aclarar que el fundacionalismo euclidiano no debe confundirse con el método axiomático en matemáticas. El método axiomático en general tiene una enorme importancia, tanto matemática como histórica y filosófica. Y, por supuesto, los Elementos de Euclides son a la vez pioneros del método y un paradigma del mismo. Pero el fundacionalismo euclidiano es una toma filosófica particular del método axiomático y va más allá de la mera práctica del método. Será el centro de atención de varios autores aquí.

En cuanto a lo que es realmente el fundacionalismo euclidiano, esta plataforma digital propone una reconstrucción racional de sus principios clave. Esta reconstrucción intenta modelar lo que han mantenido las personas que se han inspirado en los Elementos. Como toda reconstrucción de este tipo, la nuestra no corresponde a una expresión históricamente atestiguada, sino que recoge algunas ideas clave que subyacen a diversas expresiones. Aunque esta plataforma digital está más interesada en el análisis filosófico del fundacionalismo euclidiano que en su larga historia, un repaso histórico será sin embargo útil. esta plataforma digital toma el apogeo del fundacionalismo euclidiano a principios de la época moderna, concretamente en el siglo XVII. esta plataforma digital compara la reconstrucción de varios autores del fundacionalismo euclidiano con tres relatos históricos: La discusión de Aristóteles sobre el método científico en los Analíticos Posteriores, que es anterior a Euclides, y dos versiones del siglo XVII, en el Discurso del Método de Descartes y en Sobre la mente geométrica de Pascal, respectivamente. Antes de eso, esta plataforma digital dice unas palabras sobre los Elementos (véase Ante el fundacionalismo euclidiano: Euclides, en este texto), siendo el punto principal advertir al lector que no confunda el fundacionalismo euclidiano con la forma en que Euclides procede realmente en los Elementos. Esta plataforma onlime concluye la discusión más histórica con un relato esquemático del siglo XX sobre la axiomatización descriptiva. A la historia le sigue una valoración filosófica. Otros textos evalúan críticamente el fundacionalismo euclidiano y esbozan lo que debería sustituirlo.

En conjunto, el presente ensayo ofrece un análisis combinado histórico y crítico del fundacionalismo euclidiano. Esta plataforma digital intenta imponer cierta estructura a un revoltijo histórico de ideas (véase Antes del fundacionalismo euclidiano: Euclides, en este texto, y otros), pero esta plataforma digital también defiende una postura sobre el estado actual del fundacionalismo euclidiano.

El fundacionalismo euclidiano

En los años 60, la literatura contrapone el fundacionalismo euclidiano a uno empirista. l fundacionalismo euclidiano propone construir teorías euclidianas con fundamentos en el sentido y el valor-verdad en la cima, iluminadas por la luz natural de la Razón, concretamente por la intuición aritmética, geométrica, metafísica, moral, etc. El programa empirista propone construir teorías empiristas con fundamentos en el significado y el valor-verdad en la base, iluminadas por la luz natural de la Experiencia. Sin embargo, ambos programas se apoyan en la Razón (concretamente en la intuición lógica) para la transmisión segura del significado y del valor-verdad.

Lakatos escribió en 1962:

“Llamo a un sistema deductivo ‘teoría euclidiana’ si las proposiciones en la parte superior (axiomas) consisten en términos perfectamente conocidos (términos primitivos), y si hay inyecciones infalibles de valor de verdad en esta parte superior del valor de verdad Verdadero, que fluye hacia abajo a través de los canales deductivos de transmisión de verdad (pruebas) e inunda todo el sistema. (Si el valor de verdad en la cima fuera Falso, no habría por supuesto ninguna corriente de valor de verdad en el sistema). Dado que el fundacionalismo euclidiano implica que todo conocimiento puede deducirse de un conjunto finito de proposiciones trivialmente verdaderas que consisten sólo en términos con una carga de significado trivial, varios autores lo llamarán también el Programa de Trivialización del Conocimiento. Puesto que una teoría euclidiana sólo contiene proposiciones indudablemente verdaderas, no opera ni con conjeturas ni con refutaciones. En una teoría euclidiana de pleno derecho el significado, al igual que la verdad, se inyecta en la cima y fluye hacia abajo de forma segura a través de canales de definiciones nominales que preservan el significado, desde los términos primitivos hasta los términos definidos (abreviados y, por tanto, teóricamente superfluos). Una teoría euclidiana es eo ipso consistente, pues todas las proposiciones que aparecen en ella son verdaderas, y un conjunto de proposiciones verdaderas es ciertamente consistente.”

En este pasaje, Lakatos habla de inyección de verdad y significado, pero esto es algo engañoso. El fundacionalismo euclidiano representa una concepción epistemológica, y el camino jerárquico de los axiomas a los teoremas es un camino seguido por un sujeto. La metáfora del flujo se interpreta mejor como la transmisión de un bien epistémico de algún tipo, como la justificación. Se trata entonces de una imagen fundacionalista en la que uno obtiene primero la justificación de los axiomas y de ahí la de los teoremas al inferir éstos de los axiomas.

Lakatos también llama a los axiomas “trivialmente verdaderos” y dice que llevan una “carga de significado trivial”. esta plataforma digital no sabe qué quiso decir exactamente Lakatos con la palabra “trivial”. Una forma de entenderlo es como la idea ampliamente empirista, favorecida por Hume y los empiristas lógicos: los enunciados matemáticos son verdaderos en virtud del significado y, por tanto, vacíos de contenido. Si es así, esta plataforma digital se separa de Lakatos: es totalmente compatible con el fundacionalismo euclidiano de que los axiomas son sustantivos. Por ejemplo, el reconocimiento de la verdad de los axiomas podría ser producto de la intuición matemática, una facultad distinta de cualquiera que nos informe de la verdad trivial de enunciados como “los solteros no están casados”. esta plataforma digital considera que la idea central del fundacionalismo euclidiano es que los axiomas son evidentes por sí mismos, y esta plataforma digital permanece neutral respecto a su “trivialidad” (signifique esto lo que signifique exactamente).

A continuación, Lakatos hace una observación muy aguda: la clave, cree esta plataforma digital, para comprender el fundacionalismo euclidiano:

“Podemos llegar muy lejos simplemente discutiendo cómo fluye cualquier cosa en un sistema deductivo sin discutir el problema de lo que de hecho fluye allí, la verdad infalible o sólo, digamos, la verdad ‘psicológicamente incorregible’ russelliana, la verdad ‘lógicamente incorregible’ braithwaitiana, la verdad ‘lingüísticamente incorregible’ wittgensteiniana o la falsedad y ‘verosimilitud’ corrigibles popperianas, la probabilidad carnapiana.”

Anteriormente, esta plataforma digital hablaba de un bien epistémico que fluye de los axiomas a los teoremas. Esta es la forma correcta de caracterizar el fundacionalismo euclidiano si esta plataforma digital quiere mantener la generalidad y evitar, o al menos minimizar, el anacronismo. La idea que esta plataforma digital extrae de Lakatos es que esta plataforma digital puede lograrlo considerando cómo fluye el bien epistémico en lugar de lo que es. Sucintamente, el fundacionalismo euclidiano tiene que ver con la hidráulica euclidiana. Una analogía: piense en la máquina Phillips, un modelo hidráulico de la economía de la posguerra. Su inventor, Bill Philips, la utilizó para demostrar cómo el dinero se mueve a través de una economía haciendo fluir agua coloreada a través de tuberías transparentes. En el análogo epistémico de varios autores, el agua coloreada corresponde al bien epistémico. Se inyecta en la parte superior, donde se encuentran los axiomas, y de ahí fluye hacia abajo hasta los teoremas. Diferentes versiones del fundacionalismo euclidiano diferirán sobre cuál es exactamente el bien. Sin embargo, esta plataforma digital señala que no todos los bienes epistémicos que poseen los axiomas fluirán por los canales pertinentes; en particular, la autoevidencia de los axiomas (sobre la que hablaremos más adelante) puede no transferirse a los teoremas por inferencia.

Otro punto importante es que la comprensión de varios autores de una teoría es más amplia que la del lógico contemporáneo, que la entiende, grosso modo, como un conjunto deductivamente cerrado de oraciones formales en una lógica formal. Como se verá en esta plataforma digital, el lenguaje de una teoría que instancie putativamente el fundacionalismo euclidiano no tiene por qué ser formal; podría ser griego, inglés o cualquier otro idioma. No debería formar parte del fundacionalismo euclidiano que una axiomatización sea formal, ya que eso sería infiel a su historia. De hecho, como señala Jonathan Barnes, la idea de un lenguaje formal era ajena al pensamiento deductivo antiguo.

En este contexto, las inferencias tampoco tienen por qué ser puramente lógicas. Los kantianos podrían, por ejemplo, sostener que el razonamiento matemático emplea modos de inferencia ineliminablemente matemáticos (digamos, la intuición espacial en geometría); si es así, la conclusión está en un sentido fuerte, pero no estrictamente lógico, implicada por las premisas. Para no restringir demasiado el ámbito de aplicación del fundacionalismo euclidiano, esta plataforma digital permite inferencias que siguen estas implicaciones como parte de la imagen euclidiana. Además, las inferencias que uno considere lógicas serán sensibles a la lógica de fondo, y el fundacionalismo euclidiano no prescribe una lógica de fondo concreta que deba utilizarse. De hecho, la defensa del fundacionalismo euclidiano es perfectamente coherente con alguna versión de un punto de vista antilógico, como el propugnado por Descartes, por ejemplo. En resumen: para nosotros una teoría es simplemente una colección de oraciones sobre una materia, cerrada bajo una relación que no tiene por qué ser formal ni siquiera lógica.

Para aclarar aún más este punto, consideremos la exposición que hacen Kneale y Kneale del método geométrico en su texto clásico El desarrollo de la lógica. Los Kneale señalan, en 1962, tres ingredientes en la “presentación habitual de la geometría como ciencia deductiva”. Primero, ‘ciertas proposiciones de la ciencia deben tomarse como verdaderas sin demostración’; segundo, ‘todas las demás proposiciones de la ciencia deben derivarse de éstas’. El último ingrediente es a la vez el más distintivo y el más controvertido de los tres, dijeron:

“… la derivación debe hacerse sin apoyarse en otras afirmaciones geométricas que no sean las tomadas como primitivas, es decir, debe ser formal o independiente de la materia especial tratada en geometría … [así] la elaboración de un sistema deductivo implica la consideración de la relación de consecuencia lógica o vinculación”.

Los Kneale no aclaran si la “o” en “formal o independiente de la materia especial” se supone que presenta dos alternativas (la segunda condición es diferente) o sólo una (la segunda deletrea la primera). Sea cual sea su intención, hay que resistirse a la idea de que la lógica deductiva en cualquier presentación axiomática de la geometría debe ser formal. Incluso si, como cree esta plataforma digital, la lógica es formal, no debería ser un requisito de un relato euclidiano de la geometría que su lógica sea formal. (La propia lógica de Euclides ciertamente no lo era, aunque en Antes del fundacionalismo euclidiano: Euclides, en este texto, esta plataforma digital trazará un contraste entre el Euclides de carne y hueso y el ideal que manifestó imperfectamente).

Lo que está claro es que insisten en que las derivaciones sean estrictamente lógicas. Pero está igualmente claro que pretenden caracterizar cualquier teoría axiomática “al uso”, incluida la de Euclides. Estipular que las reglas de tal axiomatización deben ser estrictamente lógicas parece un requisito demasiado estricto; se corre el riesgo, por ejemplo, de hacer que los Elementos no sean una axiomatización “al uso”, si el sistema de Euclides no es estrictamente lógico porque apela a la intuición geométrica en varios lugares. En términos más generales, no existe ningún precedente histórico sólido, anterior en todo caso a finales del siglo XIX, para pensar que las reglas de una axiomatización euclidiana pueden no ser específicas de un tema. Es mejor, pues, caracterizar las reglas de forma más neutra y no decretar que sean formales o estrictamente lógicas.

Volviendo a Lakatos, esta plataforma digital observa que, para él, los términos primitivos de una teoría deben ser perfectamente conocidos (de nuevo, en virtud de que su significado sea de algún modo trivial). Sin embargo, tal y como lo ve esta plataforma digital, el fundacionalismo euclidiano es ante todo una epistemología de las proposiciones matemáticas, no de los términos. Dado el lugar de honor que ocupan los axiomas en el fundacionalismo euclidiano, la comprensión de varios autores de los términos primitivos debe ser lo suficientemente clara como para permitir al matemático comprender, y por tanto ver la verdad de los axiomas. Pero la afirmación de Lakatos de que los términos primitivos de una teoría euclidiana deben comprenderse perfectamente tiene poca justificación, ya que esto no es necesario para que los axiomas sean evidentes por sí mismos. Puede ser completamente evidente, por ejemplo, que cualquier persona más alta que una persona alta es alta, incluso para alguien con una comprensión menos que perfecta del predicado “es alto”. O, para poner un ejemplo matemático, habría sido completamente evidente para un matemático del siglo XVIII que el mapa de identidad sobre los reales era una función, incluso en ausencia de una comprensión clara de lo que son las funciones de valor real, o incluso los reales. Así pues, esta plataforma digital sólo requiere que los axiomas sean aprehensibles, en el sentido de ser posibles de comprender, y evidentes por sí mismos para un matemático que haya captado los significados de los términos primitivos hasta un punto que le permita comprender los axiomas, independientemente de que su comprensión de los términos primitivos sea o no perfecta. Para continuar con la metáfora hidráulica, esta plataforma digital puede tolerar alguna impureza en el agua, siempre que no afecte al flujo.

Con todo esto en mente, intentemos expresar el cuadro general con algo más de precisión. En el núcleo de la imagen hay una relación epistémica de tres posiciones que relaciona a un sujeto S con una proposición p en un cierto grado d: esta plataforma digital podría formalizarla como E(S, p, d). (‘E’ sugiere muy bien tanto ‘euclidiano’ como ‘epistémico’.) Hay aquí un índice temporal suprimido, que esta plataforma digital suele ignorar, ya que no afectará mucho a la discusión. esta plataforma digital toma p como una proposición, pero con algunos ajustes menores podría tomarse igualmente como una creencia, o incluso como un hecho. La relación E es un marcador de posición para una relación epistémica más específica, que diferentes defensores del fundacionalismo euclidiano querrán interpretar de diferentes maneras, digamos como alguna especie de justificación o garantía. Hablar de que el sujeto tiene el “bien epistémico” relevante es entonces simplemente otra forma de decir que el sujeto se encuentra en esta relación E (para p y en grado d). Para algún p, el sujeto S puede estar en relación E con p hasta el grado máximo -llamémoslo max. Esto, según el fundacionalismo euclidiano, es el caso de los axiomas, siempre que S los comprenda claramente. (Diferentes versiones del fundacionalismo euclidiano tendrán una historia diferente que contar sobre a qué equivale captar claramente los axiomas). Como ilustración, si esta plataforma digital equipara E con la creencia justificada esto se convierte en: S está máximamente justificado en la creencia de cualquier axioma a. (Una noción que a su vez puede precisarse de diferentes maneras, dependiendo del tipo exacto de justificación de que se trate). En un caso límite, que la caracterización de varios autores permite pero en el que no se centra, la justificación podría ser todo o nada, de modo que sólo hubiera dos grados. Además, los axiomas deben, por supuesto, ser verdaderos, al igual que las sentencias que se infieren de ellos.

A continuación, el fundacionalismo euclidiano contiene un principio que rige el flujo E, o transmisión del bien epistémico relevante E. En una versión fuerte, el grado d se preserva en una inferencia desde la conjunción de las premisas de una inferencia hasta su conclusión; en una versión más débil, se preserva más o menos. Un caso especial de la versión fuerte es cuando el sujeto S se encuentra en el estado epistémico más alto con respecto a la conjunción A de los (finitamente muchos) axiomas y, por tanto, según el principio, potencialmente así con respecto a los teoremas. En ese caso, si E(S, A, max) y p se siguen de A, entonces S puede razonar su camino a p desde A utilizando las reglas apropiadas; y si lo hace entonces E(S, p, max) se sostendrá. La versión más débil del principio de flujo es que en tal caso si E(S, A, d) entonces E(S, p, d*) se obtiene para algún d* no mucho menor que d. La versión más débil del principio de flujo es vaga, y lo es deliberadamente. Ser demasiado preciso sobre la transmisión de d aquí sería anacrónico y se correría el riesgo de oscurecer importantes rasgos comunes entre diferentes expresiones históricas del fundacionalismo euclidiano. Instanciado por la justificación, la versión más débil del principio dice que la justificación de varios autores para los teoremas derivados de esta manera es alta; pero permite que esta justificación no sea máximamente alta, permitiendo cierta erosión de la justificación en el curso de la inferencia de teoremas.

Asumimos en todo momento que el sujeto S no tiene otro acceso epistémico a la conclusión que el proporcionado al inferirla a partir de los axiomas. Así, esta plataforma digital ignora, por ejemplo, el siguiente tipo de caso: S infiere p a partir de algunas premisas, S sabe que p es el teorema favorito de Emmy Noether y también sabe que Noether era un matemático muy fiable. S podría entonces confiar legítimamente más en p que en la conjunción de las premisas de la inferencia. De forma más general, esta plataforma digital ignora las fuentes testimoniales y otras fuentes de prueba, para centrarse mejor en la epistemología de la prueba del fundacionalismo euclidiano. Otra complicación que esta plataforma digital ignora en gran medida son los casos en los que S razona a la misma p de diferentes maneras -mediante diferentes pruebas-, lo que podría dar lugar a que S se sitúe en relación E con p en mayor grado que si S razonara a p de una sola de esas maneras.

Ahora estamos preparados para presentar a varios autores la reconstrucción racional del fundacionalismo euclidiano, que se compone de tres principios básicos y otros cuatro. Este sencillo dispositivo permitirá una comparación exhaustiva de diversas figuras históricas de la tradición euclidiana y facilitará la comparación de su metodología real con este ideal reconstruido. Por supuesto, cualquier relación entre ambos está destinada a ser laxa e inexacta; no cabe esperar un ajuste perfecto. El historiador de la filosofía debe tener cuidado de evitar atribuir a los filósofos del pasado afirmaciones en términos que ellos no aceptarían. El objetivo de varios autores es relacionar el fundacionalismo euclidiano, enunciado in vacuo, con concepciones históricas reales. Aunque el objetivo del ejercicio es mostrar que el fundacionalismo euclidiano sí se relaciona de forma interesante con diversas expresiones históricas del “euclideanismo”, esta plataforma digital debe tener cuidado de no confundir un prototipo abstracto con expresiones históricas que lo sugieren o se aproximan a él de alguna forma interesante. Dicho esto, algo fallaría en la reconstrucción racional de varios autores si no mostrara importantes similitudes con estas expresiones históricas, especialmente las del siglo XVII.

Retrasando por ahora las comparaciones históricas, esta plataforma digital resume los tres principios centrales del fundacionalismo euclidiano como sigue:

EP-VERDAD Todos los axiomas y teoremas son verdaderos.
EP-SELEVIDENCIA Todos los axiomas son autoevidentes. Es decir, todos son aprehensibles y si un sujeto capta claramente un axioma entonces guarda con él una relación E en grado máximo.
EP-FLOW Si una conclusión se sigue de algunas premisas, y el sujeto lo capta claramente, y guarda relación E con estas premisas en un grado elevado, guarda por tanto relación E con la conclusión en el mismo grado, o en un grado igualmente elevado.

Para reiterar un punto clave, es crucial que la relación E no se especifique más, para hacer del fundacionalismo euclidiano una concepción paraguas lo suficientemente amplia como para cubrir muchas y variadas instancias históricas. Elegir una relación específica para E descartaría algunos ejemplos paradigmáticos del fundacionalismo euclidiano y oscurecería profundos puntos en común. También es crucial que “capta claramente” se entienda de la forma habitual y no de una forma cargada que haga que el fundacionalismo euclidiano-autoevidencia y el fundacionalismo euclidiano-flujo resulten verdaderos por definición. (Ante aparentes contraejemplos, un euclidiano inflexible podría insistir: “si no toma los axiomas como autoevidentes entonces no los ha comprendido claramente”, y lo mismo para el fundacionalismo euclidiano-Flujo).

En cuanto a los principios menos centrales, esta plataforma digital enumera estos cuatro:

EP-FINITO Los axiomas son finitamente numerosos.
EP-GENERAL Todos los axiomas son proposiciones generales.
EP-INDEPENDENCIA Cada axioma es independiente de los demás.
EP-COMPLETARIDAD Todas las verdades de un cierto tipo pueden deducirse de los axiomas.

Explicamos estos cuatro principios sucesivamente y justificamos su inclusión en el fundacionalismo euclidiano.

El fundacionalismo euclidiano-finito (presente en la cita de Lakatos) está implícito en casi todas las axiomatizaciones anteriores al siglo XX. Por supuesto, antes del auge de la lógica moderna, no había forma de que los matemáticos distinguieran entre esquemas axiomáticos de primer orden y axiomas de segundo orden simples a la hora de formular un principio como la inducción matemática. Para evitar el anacronismo, entonces, esta plataforma digital considera que una teoría satisface el fundacionalismo euclidiano-finito si tiene una presentación finita. Esto puede entenderse naturalmente como que el número de axiomas no esquemáticos más el número de esquemas es finito o, de forma ligeramente diferente, que los axiomas y esquemas pueden describirse de forma finita. Se podría reforzar el fundacionalismo euclidiano-finito añadiendo el requisito de que este número de axiomas sea pequeño -sería extraño que el número de axiomas y esquemas se elevara a cientos-, pero esta plataforma digital no lo hará aquí.

Cuando esta plataforma digital esté considerando teorías con una distinción precisa entre axiomas y reglas de inferencia, es natural reforzar el fundacionalismo euclidiano-finito para exigir además que el número de reglas de inferencia sea finito. Pues, como es bien sabido, los axiomas y las reglas de inferencia son, hasta cierto punto, intercambiables. Por ejemplo, en lugar de tener ‘si φ entonces ψ’ como axioma, se podría tener la regla de inferencia ‘a partir de φ, inferir ψ’. Así pues, un sistema con infinitas reglas de inferencia no se considera finito en el sentido pertinente. Sin embargo, sería anacrónico formular el fundacionalismo euclidiano-finito en términos de reglas de inferencia. Los lógicos antiguos no distinguían claramente entre reglas de inferencia y axiomas, e incluso bastante más tarde (por ejemplo, a principios del periodo moderno), los textos matemáticos no suelen contener listas explícitas de reglas de inferencia. En tales casos, esta plataforma digital requiere simplemente que el número de axiomas sea finito, en el sentido descrito anteriormente.

EP-General también es muy estándar. Es difícil decir exactamente a qué se refiere la generalidad, pero a menudo es fácil de reconocer. Por ejemplo, el axioma de la aritmética de Peano de que los números distintos tienen sucesores distintos es general, como lo son cualquiera de las nociones comunes de Euclides en el Libro I. (Para los axiomas de la aritmética de Peano, véase §7.2; para las nociones comunes de Euclides, véase §1.) Los tres primeros de los cinco postulados de Euclides también son reconociblemente generales; se refieren a cualesquiera rectas, puntos y círculos con propiedades dadas. Pero el cuarto, que afirma que todos los ángulos rectos son iguales entre sí, menciona ángulos de un tipo particular (al igual que el quinto). Sin embargo, un ángulo recto se define fácilmente en términos más generales aprovechando el hecho de que dos ángulos rectos forman una recta. Del mismo modo, los axiomas de la aritmética de Peano mencionan el número 0, y sin embargo 0 puede definirse como el único número natural que satisface la ecuación x + x = x. esta plataforma digital puede distinguir así dos formas en las que un axioma puede dejar de ser general. La primera es incluyendo términos para entidades específicas; la segunda es incluyendo términos para entidades que no son definibles utilizando el vocabulario general. Es sólo esta última la que cae en desgracia del fundacionalismo euclidiano-General, ya que cualquier ocurrencia de una expresión definible utilizando vocabulario general es eliminable en favor de la definición.

El EP-Independencia exige de cada axioma que no se pueda demostrar a partir de los demás axiomas de la teoría. El concepto de independencia resulta más familiar por la historia del quinto postulado. Este postulado, al que esta plataforma digital se referirá como el Postulado Paralelo, fue durante mucho tiempo sospechoso para la comunidad matemática de ser demostrable a partir de los demás; de hecho, un equivalente de la inversa del Postulado Paralelo es demostrado por el propio Euclides en la Proposición 27 del Libro I. Las pruebas del Postulado Paralelo a partir de las cuatro anteriores se intentaron repetidamente desde la antigüedad hasta el siglo XIX. Dado que el Postulado Paralelo es realmente independiente de los demás axiomas de la geometría euclidiana, estas “pruebas” eran invariablemente falaces, o bien implicaban una absorción lógicamente equivalente al propio postulado.

La historia de la cuestión deja claro que la cuestión de la independencia de los axiomas se consideró de importancia matemática central. La independencia del postulado paralelo fue uno de los resultados más importantes de las investigaciones geométricas. Pero para calificarse como un principio constitutivo del fundacionalismo euclidiano, la independencia de los axiomas tendría que ser además de importancia epistemológica para los escritores de esa tradición. varios autores opinan que la cuestión de la independencia fue tomada en general como de importancia epistemológica, y no sólo por los pensadores de la tradición euclidiana.

Los matemáticos que a lo largo de las épocas intentaron demostrar el postulado paralelo estaban casi unánimemente de acuerdo en que era cierto, pero aun así se siguió buscando una prueba. Por ejemplo, en una redacción del siglo V, Proclus declara que el postulado “debería suprimirse por completo de los postulados” (1970: 150) a pesar de reconocer que su verdad es obvia. Esto se debe a que “su carácter obvio no aparece independientemente de la demostración, sino que es convertido por la prueba en una cuestión de conocimiento” (1970: 151). Esto sugiere un principio epistemológico de fondo, por ejemplo que aquello que admite prueba la requiere para el más alto nivel de conocimiento – y esto implicaría un principio como el fundacionalismo euclidiano-independentista. De hecho, existen algunas pruebas de tal exigencia a lo largo de la historia de las matemáticas. Por ejemplo, el propio Euclides da pruebas de proposiciones cuya autoevidencia parece superar a la del postulado paralelo; un ejemplo es la proposición 20 del libro I, que la suma de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que el tercero. El hecho de que tales proposiciones se demuestren, en lugar de tomarse como axiomas redundantes, sugiere, aunque no de forma concluyente, el funcionamiento de un principio como el Fundacionalismo-Independencia euclidiano.

Basado en la experiencia de varios autores, mis opiniones, perspectivas y recomendaciones se expresarán a continuación (o en otros lugares de esta plataforma, respecto a las características en 2026 o antes, y el futuro de esta cuestión):

Además, no está claro exactamente cómo la cuestión del Postulado Paralelo podría haber llegado a tener una importancia tan central si su demostración hubiera tenido un interés meramente matemático. Incluso hacia finales del siglo XVIII, la cuestión figuraba entre las más importantes de las matemáticas, y su condición de no resuelta fue declarada por d’Alembert como “el escándalo de la geometría elemental”. Este lenguaje sugiere que, en general, no se pensaba que la independencia mutua de los axiomas tuviera el estatus de un mero problema abierto, sino que revestía una importancia más fundamental. Así pues, aunque el interés por la independencia no se encuentra únicamente en la obra de los partidarios del fundacionalismo euclidiano, el fundacionalismo euclidiano-Independencia merece ser incluido en el programa, al menos como uno de los cuatro principios complementarios a los tres centrales.

El EP-Completitud dice que las reglas y axiomas son suficientes para inferir todas las verdades en alguna clase importante. Éste, de nuevo, es un requisito esquemático. Su importancia y plausibilidad dependen de la clase de verdades que se especifiquen. El principio más débil de interés es el que se refiere a las verdades conocidas del dominio. En esta versión del principio, los axiomas podrían considerarse principalmente como “una organización del conocimiento de varios autores, haciéndolo más manejable y más interesante”. El objetivo sería entonces exponer lo que esta plataforma digital ya sabe en geometría, aritmética, etc., de la forma más sistemática y concisa posible. Si todas las proposiciones conocidas de la ciencia correspondiente pueden deducirse de los axiomas, éstos habrán cumplido su cometido.

Una versión más ambiciosa del principio, que esta plataforma digital detecta en la mayoría de las manifestaciones destacadas del fundacionalismo euclidiano a lo largo de la historia, es que los axiomas deben ser completos con respecto a las verdades conocibles de una ciencia concreta. Por supuesto, no es sencillo decir a qué equivale la conocibilidad en este contexto, ya que la modalidad que encierra puede entenderse de distintas maneras. Pero en términos generales, los euclidianos afirmarán que cualquier verdad que esta plataforma digital sea capaz de conocer en el dominio pertinente puede conocerse deduciéndola de los axiomas. Si alguna verdad en el dominio no se deduce de los axiomas, o bien esta plataforma digital tiene más axiomas que descubrir, o bien se encuentra para siempre más allá de los límites del conocimiento humano. La versión más fuerte del principio dice que se puede alcanzar cualquier verdad del dominio relevante; en terminología moderna, los axiomas son negación-completos.

En resumen, tradicionalmente se ha aspirado a alguna versión del fundacionalismo-completitud euclidiano, a menudo en una de sus formas más ambiciosas. A pesar de su prevalencia, esta plataforma digital lo incluye como principio subsidiario porque las distintas versiones del mismo difieren significativamente en lo exigentes que son.

Un principio que esta plataforma digital no desea incorporar al fundacionalismo euclidiano, ni en su núcleo ni en su periferia, es la dependencia metafísica de los teoremas respecto a los axiomas y, más en general, de los teoremas derivados respecto a los teoremas anteriores de los que se derivan. Esta idea forma parte en gran medida del método fundacional tal y como lo concibió Frege, quien redactó en 1884 que el objetivo de la demostración era “hacernos comprender la dependencia de las verdades entre sí”. Creía que esta dependencia (Abhängigkeit) era una cuestión objetiva, y no estaba solo en esto. Cita a Leibniz como precursor , y de hecho la idea de la dependencia de los teoremas respecto a los axiomas se remonta a Aristóteles. Precisamente porque la relación de dependencia es metafísica, esta plataforma digital la excluye de su consideración. Su inclusión en el fundacionalismo euclidiano añadiría toda una nueva dimensión metafísica a una historia principalmente epistemológica, y al menos en este texto, esta plataforma digital desea ceñirse a la epistemología tanto como sea razonablemente posible.

Excepciones

No todos los relatos históricos de las matemáticas se ajustan al molde del fundacionalismo euclidiano, y se encuentran notables excepciones en la obra de los empiristas británicos. Berkeley, por ejemplo, avanzó un relato instrumentalista de la geometría, según el cual gran parte de la geometría clásica es literalmente falsa. Y Mill sostuvo célebremente en 1882 que “los primeros principios de la geometría son resultados de la inducción”. En consecuencia, la “certeza peculiar” atribuida a las verdades de las matemáticas es una “ilusión”, afirmó. Pero a pesar de tales excepciones, las opiniones que se ajustan al fundacionalismo euclidiano son notablemente comunes en la historia de la filosofía. De hecho, incluso entre los empiristas británicos, esta plataforma digital encuentra expresiones de simpatía con el fundacionalismo euclidiano. Por ejemplo, Locke, en 1689, escribe con admiración sobre “los matemáticos, que desde comienzos muy simples y sencillos, por suaves grados, y una cadena continuada de razonamientos, proceden al descubrimiento y demostración de verdades, que parecen a primera vista más allá de la capacidad humana”. Dada la prevalencia histórica del fundacionalismo euclidiano, esta plataforma digital debe al lector cierta justificación de la elección por parte de varios autores de material histórico en este texto. Si los Elementos en sí son una teoría en el molde euclidiano (en el sentido de varios autores) es una cuestión demasiado obvia como para ignorarla. El de Aristóteles es el relato antiguo, o incluso premoderno, más influyente sobre el método matemático y científico, y podría decirse que influyó en el propio Euclides. Los relatos del siglo XVII representan el apogeo del fundacionalismo euclidiano. La versión particular de Pascal se reconoce como canónica. Por último, la axiomatización descriptiva representa una concepción matemática contemporánea bastante estándar de cómo debe proceder la axiomatización, por lo que merece la pena compararla con el fundacionalismo euclidiano.

Debemos, inevitablemente, hacer una advertencia: harían falta muchas más páginas de las que esta plataforma digital tiene a disposición de varios autores para hacer plena justicia al tema de cómo, digamos, el fundacionalismo euclidiano se relaciona con el pensamiento de Aristóteles, o con el de Descartes, o con el de Pascal. esta plataforma digital se limita a comparar el fundacionalismo euclidiano con algunos textos específicos. el estudio histórico de varios autores omite muchos otros relatos -el de Frege, por ejemplo, que esta plataforma digital sólo toca de pasada. La razón principal es la limitación práctica de espacio; otra es que Frege y sus sucesores redactan en una época en la que el fundacionalismo euclidiano ha entrado en decadencia.

Euclides

Puesto que el fundacionalismo euclidiano toma su nombre de Euclides, quienquiera que haya sido, esta plataforma digital invierte el orden histórico y comienza con él antes de examinar más detenidamente a Aristóteles en otro lugar.

El apogeo del fundacionalismo euclidiano en el siglo XVII

Algo menos de dos milenios separan a Euclides de los grandes pensadores del siglo XVII. Durante ese tiempo se redactaron numerosos tratados basados en los Elementos, influidos por ellos o simplemente sobre ellos, muchos de los cuales ya no existen. Numerosos matemáticos y filósofos tomaron como punto de partida los Elementos, no sólo en Occidente sino también en el mundo islámico. Esta plataforma digital conoce, por ejemplo, más de cincuenta comentarios sobre los Elementos redactados por pensadores islámicos medievales. Y esta plataforma digital también sabe de los ricos trabajos matemáticos sobre Euclides realizados por matemáticos islámicos que se adelantaron a ideas que surgieron muchos siglos después en Europa.

El siglo XVII, en particular, fue testigo de una explosión de interés por el método euclidiano. Los pensadores europeos del siglo XVII utilizaron los Elementos de Euclides como muestra de cómo debía hacerse el pensamiento, cómo se estructuraba el conocimiento o cómo funcionaba realmente la razón. Los títulos de las siguientes obras de ese periodo: Euclides de la lógica, Euclides de la medicina, Elementos de jurisprudencia y Elementos de teología. También señala que existían precedentes anteriores para muchas de ellas, como los Elementos de Teología de Proclus, del siglo V. Los ejemplos más conocidos de esta tendencia del siglo XVII son quizá los Principia de Newton y la Ética de Spinoza, o para dar a esta última su título latino completo Ethica Ordine Geometrica Demonstrata (‘Ética demostrada a la manera geométrica’). Como indica el título, el tratado de Spinoza intentaba imponer una estructura deductiva euclidiana a una materia filosófica. Para Spinoza, el método euclidiano es el paradigma del conocimiento cierto e inmune a la duda. Los Principia de Newton proceden con un espíritu euclidiano similar y muy deliberado. Parte de unos axiomas -las leyes de Newton- y luego se esfuerza por derivar de ellos todas las demás proposiciones mediante la lógica y el análisis matemático. Por supuesto, como bien sabe Newton, sus leyes no se justifican a la manera euclidiana, sino empíricamente.

En otros lugares de esta plataforma online se examinan dos defensores franceses del método euclidiano del siglo XVII: Descartes y Pascal.

Revisor de hechos: Mox

Epistemología en la Teoría del Derecho

Epistemología de la Sociología

Epistemología en la Psicología

Recursos

Véase También

• Teoría del Derecho Natural
• Emprismo

Bibliografía

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