Fractales

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Fractales en General

El término “fractal” fue acuñado por Benoit Mandelbrot para describir un objeto geométrico “autosimilar” que se parece mucho en muchas escalas de medida diferentes. Esta propiedad contrasta con la de un círculo, por ejemplo, que pierde su estructura cuando se observa a una escala diferente y se convierte casi en una línea recta cuando se amplía mucho cualquier arco.

Los fractales son representaciones de objetos con una cantidad infinita de detalles. Cuando se amplían, los fractales no se simplifican, sino que siguen siendo tan complejos como lo eran sin la ampliación. Esta es la razón por la que los fractales parecen describir mejor los objetos naturales que las figuras geométricas simples como triángulos, rectángulos o círculos.

Una línea costera es un ejemplo clásico de autosimilaridad en la naturaleza. Desde el aire, una costa marina parece irregular en virtud de sus bahías y cabos. Una mirada más cercana revelará la misma estructura pero a una escala diferente. Cada bahía tiene sus propias bahías y cabos. Una mirada aún más cercana mostrará aún más bahías y promontorios dentro de las bahías más grandes. Incluso una playa tendrá pequeñas bahías, cabos y penínsulas. A una escala mucho menor en la naturaleza, un microscopio revelará una estructura autosimilar incluso dentro de un grano de arena, que tendrá hendiduras y extrusiones.

Construcción de fractales geométricos

Cualquier fractal creado matemáticamente puede hacerse mediante la iteración, o repetición, de una regla determinada. Existen tres tipos básicos de iteración:

• La iteración generatriz, que consiste en sustituir repetidamente determinadas formas geométricas por otras formas;
• la iteración IFS (sistema de función iterada), que consiste en aplicar repetidamente transformaciones geométricas (como la rotación y la reflexión) a puntos; y
• iteración de fórmulas, que consiste en repetir una determinada fórmula matemática o varias fórmulas.

La propiedad de autosimilitud es válida para la mayoría de los fractales creados matemáticamente.

Se pueden crear otros fractales geométricos utilizando el mismo método de la construcción geométrica de la Curva de Koch. Utilizando un triángulo como iniciador, se construye la Junta de Sierpinski. (La junta de Sierpinski debe su nombre al matemático polaco Waclaw Sierpinski, 1882-1969).

Con cada iteración, la figura se vuelve más compleja a medida que las copias a escala se construyen sobre copias a escala idénticas, como muestran los triángulos pequeños de la izquierda. La imagen grande del extremo derecho muestra los resultados tras seis iteraciones.

Características de los fractales

Cuando se muestran imágenes de figuras fractales, se muestran aproximaciones dadas por un número finito de pasos porque estas aproximaciones -como en el caso de la Curva de Koch- darán como resultado una curva de longitud finita. La curva fractal real tendrá una longitud infinita.

Dado que las figuras fractales reales como la Curva de Koch tienen una longitud infinita, presentan propiedades interesantes poco comunes en figuras geométricas más simples. Por ejemplo, una curva fractal cerrada como el Copo de Nieve de Koch puede encerrar una figura con perímetro infinito y área finita. Aunque no se muestra aquí, el Copo de Nieve de Koch se construye a partir de un triángulo equilátero, utilizando una Curva de Koch para iniciar cada uno de sus lados. El copo de nieve tiene un perímetro infinito porque el patrón geométrico de (d) de la figura anterior no numerada comprende el borde exterior del copo de nieve y puede repetirse un número infinito de veces a escalas cada vez más pequeñas.

Dimensiones fractales

Intuitivamente, la dimensión de una figura es el número de coordenadas necesarias para describirla, como una línea (uno), un cuadrado (dos) o un cubo (tres). Sin embargo, existen otras definiciones de dimensión, basadas en definiciones rigurosas de la medida de un conjunto. Una de estas dimensiones es la dimensión de Hausdorf, que se aplica a los conjuntos fractales.

Debido a su complejidad, a los objetos fractales no se les puede asignar una dimensión como a una línea o a un cuadrado. Por ejemplo, la Curva de Koch no puede tener dimensión 1, como una línea, ni dimensión 2, como un cuadrado. Por tanto, debe haber otras formas de calcular su dimensión fractal.

El cálculo de las dimensiones fractales está relacionado con (1) el número de piezas en que puede dividirse una estructura y (2) el factor de reducción. La Curva de Koch, en general, tiene 4k piezas con un factor de reducción de . Así, cuando tiene cuatro piezas, el factor de reducción es ⅓, y cuando tiene dieciséis piezas el factor de reducción es . De forma similar, la junta de Sierpinski, en general, tiene 3k piezas con un factor de reducción de ½, y con nueve piezas el factor de reducción es ¼.

Esta idea fue utilizada en 1919 por el matemático alemán Felix Hausdorff para definir una dimensión fractal que concuerda con la dimensión habitual en los espacios habituales. Aunque es demasiado complicado para exponerlo aquí, es interesante saber que la dimensión de la Curva de Koch es aproximadamente 1,2619 (o ) y el Sierpinski Gasket tiene una dimensión cercana a 1,585 (o ).

Para las formas que no son tan regulares como la Curva de Koch o el Sierpinski Gasket, como las nubes o las costas, este método de determinación de la dimensión fractal no funciona. Los fractales que no están compuestos por un cierto número de versiones idénticas de sí mismos requieren otros métodos para determinar la dimensión fractal.

Conjuntos de Julia y Mandelbort

Los números complejos son números de la forma a + bi, donde i = . Representando el número complejo a + bi con el punto (a, b ) en el plano cartesiano , se obtiene una representación gráfica de los números complejos conocida como plano complejo. Los números complejos se pueden sumar, multiplicar y dividir, igual que los números reales . Sin embargo, es importante tener en cuenta que i 2 = -1. Así pues, se pueden definir funciones utilizando números complejos como entrada, y la salida de estas funciones serán, en general, números complejos.

Gaston Julia (1893-1978) investigó lo que ocurre cuando se iteran funciones en el plano complejo. Consideremos, por ejemplo, la función f (z ) = z 2 + c, donde c es un número complejo. Para números reales, no es difícil evaluar esta función. Si c = 1 + i, y se quiere evaluar la función para z = 2, entonces f (2) = 22 + 1 + i = 4 + 1 + i = 5 + i. Elevar al cuadrado números complejos es un poco más difícil, pero basta con darse cuenta de que cuando una función como ésta toma un número complejo como entrada, produce otro número complejo como salida. Si esta función se itera (es decir, si la salida se convierte en la entrada), y la función se evalúa una y otra vez, puede ocurrir una de dos cosas. O bien los números de salida empezarán a crecer y a alejarse del origen, o bien de alguna manera se mantendrán cerca del origen, aunque la función se itere muchas veces.

Por ejemplo, seleccione c = -0,125 + 0,75i, y evalúe f para z = 0. Evaluando de nuevo la función utilizando como entrada la salida de f (0), y continuando esta repetición de utilizar cada valor de salida como el siguiente valor de entrada se obtiene una secuencia de números complejos diferente de la secuencia de números complejos que resultaría de evaluar la misma función con un valor inicial de z = -0,5 + 0,5i. La diferencia es que para el valor inicial z = 0, la secuencia resultante de números complejos permanece acotada; es decir, la secuencia permanece próxima al origen. En cambio, la secuencia dada por z = -0,5 + 0,5i se aleja rápidamente del origen.

La colección de números complejos, representados como puntos en el plano complejo, que conducen a secuencias que permanecen siempre cerca del origen se denomina conjunto prisionero para c, mientras que la colección de puntos que conducen a secuencias no acotadas se denomina conjunto de escape para c. El conjunto de Julia es la frontera entre los dos conjuntos.

Aunque no se muestra aquí, el conjunto prisionero para c = -0,125 + 0,75i y su Conjunto Julia limítrofe se consideran conexos porque aparecen en una sola pieza. En cambio, el Conjunto Julia para c = -0,75 + 0,125i está desconectado porque consta de piezas separadas entre sí. Si todos los valores de c en el plano complejo que tienen Conjuntos de Julia conectados se colorean de negro, el resultado se conoce como Conjunto de Mandelbrot, llamado así en honor de Benoit Mandelbrot. No es de extrañar que este conjunto tenga una complejidad que lo situó fuera del alcance de los matemáticos hasta que se utilizaron ordenadores para estudiarlo. Mandelbrot estudió ampliamente el trabajo de Julia y utilizó gráficos por ordenador para representar los Conjuntos de Julia y el Conjunto de Mandelbrot.

La autosimilitud en el Conjunto de Mandelbrot es de naturaleza diferente a la de la Curva de Koch y el Gasket de Sierpinski porque surge de iteraciones de funciones cuadráticas y no de iteraciones de generadores o iteraciones IFS, como se ha descrito anteriormente. En el Conjunto de Mandelbrot, las imágenes idénticas no pueden verse de inmediato. Pero como muestra la imagen de cuatro cuadros, bajo aumentos crecientes, los bordes revelarán complejidades ocultas e incluso copias diminutas del Conjunto de Mandelbrot.

Los fractales en la ciencia y el arte

Antes de Mandelbrot, ninguno de los pioneros matemáticos pensó que sus especulaciones teóricas sobre los procesos iterativos y su relación con conjuntos extremadamente inusuales acabarían siendo las mejores herramientas para describir la naturaleza. Y sin embargo, los fractales han demostrado ser un rico objeto de estudio. Han servido para describir la naturaleza y son utilizados con frecuencia por científicos de distintas disciplinas para explorar fenómenos muy diversos. Se pueden encontrar estructuras fractales en las hojas de un árbol, en el curso de un río, en la forma de un brócoli, en nuestro sistema arterial y en la superficie de un virus.

Las primeras aplicaciones de los fractales, y quizá las más vistas por los no científicos, se dan en las artes y en la industria cinematográfica, donde se han utilizado falsificaciones fractales para crear paisajes para películas de ciencia ficción. Utilizando fractales, se han creado para nuestra diversión simulaciones convincentes de nubes, montañas y superficies de mundos extraterrestres.

En la década de 1970, un joven científico, Loren Carpenter, realizó una película por ordenador de un vuelo sobre un paisaje fractal. Esto llamó la atención de Lucasfilm Ltd, cuya división gráfica, Pixar, le contrató inmediatamente. Su trabajo con fractales se utilizó para crear la geografía de las lunas de Endor y el contorno de la Estrella de la Muerte en la película El retorno del Jedi. Los fractales también se utilizaron para generar el paisaje del planeta Génesis en la película Star Trek II: La ira de Khan. Carpenter ha recibido premios por sus contribuciones a la industria cinematográfica, y su trabajo en estas dos películas desencadenó el uso extendido de los fractales para efectos especiales y para simular paisajes y otras formas irregulares en juegos de ordenador tridimensionales (3-D).

El estudio de los fractales es todavía una rama joven de las matemáticas, y aún están por revelar más aplicaciones.

Revisor de hechos: Kaley y Mix

Fractales en Matemáticas

Un fractal es una figura geométrica, a menudo caracterizada por ser autosimilar; es decir, de apariencia irregular, fracturada, fragmentada o vagamente conectada. Los fractales se utilizaban hace cientos, quizá miles, de años, pero no se llamaban fractales. Eran diseños contenidos en obras de arte y artesanía, en diseños de alfombras y suelos y techos pintados, y dentro de muchos objetos utilizados en la vida cotidiana. El matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) desarrolló conceptos que ayudaron a definir finalmente los fractales. El matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897) analizó y graficó en 1872 una función que hoy se considera un fractal. Más tarde, en 1904, el matemático sueco Niels Fabian Helge von Koch (1870-1924) refinó el trabajo de Weierstrass y definió otra función, lo que hoy se denomina el copo de nieve de Koch.

El matemático polaco-francés Benoit B. Mandelbrot (1924-) acuñó el término fractal para describir tales figuras, derivando la palabra del latín fractus que significa roto, fragmentado o irregular. También señaló sorprendentes similitudes de aspecto entre algunos conjuntos fractales y muchos patrones geométricos naturales. Así, el término fractal natural se refiere a fenómenos naturales que son similares a los conjuntos fractales, como la trayectoria que sigue una partícula de polvo al rebotar en el aire.

Otro buen ejemplo de fenómeno natural que se asemeja a un fractal es una línea costera, porque presenta tres propiedades importantes que son típicas de los fractales. En primer lugar, una línea costera es irregular y está formada por bahías, puertos y penínsulas. En segundo lugar, la irregularidad es básicamente la misma en todos los niveles de ampliación. Tanto si se observa desde una órbita elevada sobre la Tierra, desde un helicóptero o desde tierra, tanto si se observa a simple vista como con una lupa, todas las líneas costeras son similares entre sí. Aunque los patrones no son exactamente los mismos en cada nivel de aumento, las características esenciales de una línea costera se observan en cada nivel. En tercer lugar, la longitud de una línea costera depende del aumento con el que se mida. Medir la longitud de una línea costera en una fotografía tomada desde el espacio sólo dará una estimación de la longitud, porque muchas bahías y penínsulas pequeñas no aparecerán, y las longitudes de sus perímetros quedarán excluidas de la estimación.

Se puede obtener una estimación mejor utilizando una fotografía tomada desde un helicóptero. Seguirán faltando algunos detalles, pero se incluirán muchos de los rasgos que faltan en la foto espacial, por lo que la estimación será más larga y se acercará más a lo que podría denominarse la longitud real de la costa. Esta estimación puede mejorarse aún más recorriendo la línea de costa con un podómetro. De nuevo, resultará una medición más larga, quizá más cercana a la longitud real, pero aún así una estimación, porque muchas partes de una línea costera están formadas por rocas y guijarros que son más pequeños que la longitud de una zancada media. Se pueden hacer estimaciones sucesivamente mejores aumentando el nivel de aumento, y cada medición sucesiva encontrará la línea de costa más larga. Finalmente, el nivel de aumento debe alcanzar una resolución atómica o incluso nuclear para permitir la medición de las irregularidades de cada grano de arena, cada terrón de tierra y cada diminuto guijarro, hasta que la longitud parece volverse infinita. Este resultado problemático sugiere que la longitud de todas las costas es la misma.

La resolución del problema radica en el hecho de que los fractales se caracterizan adecuadamente en términos de su dimensión, en lugar de su longitud, área o volumen, describiéndose los fractales típicos como aquellos que tienen una dimensión que no es un número entero. Para explicar cómo puede ocurrir esto, es necesario considerar el significado de dimensión. La noción de dimensión data de los antiguos griegos, quizá ya desde Pitágoras (582-500 a.C.) pero al menos desde el matemático griego Euclides de Alexandra (c. 325-c. 265 a.C.) y sus libros sobre geometría. Intuitivamente, los matemáticos piensan que la dimensión es igual al número de coordenadas necesarias para describir un objeto. Por ejemplo, una línea tiene dimensión 1, un cuadrado tiene dimensión 2 y un cubo tiene dimensión 3. Esto se denomina dimensión topológica.

Sin embargo, entre los años 1875 y 1925, los matemáticos se dieron cuenta de que era necesaria una definición más rigurosa de dimensión para comprender los conjuntos extremadamente irregulares y fragmentados. Descubrieron que ninguna definición única de dimensión era completa y útil en todas las circunstancias. Así, hoy en día siguen existiendo varias definiciones de dimensión. Entre ellas, la dimensión de Hausdorf, propuesta por el matemático alemán Felix Hausdorff (1868-1942), da lugar a dimensiones fraccionarias cuando un objeto es un fractal, pero coincide con el valor topológico de dimensión para las formas geométricas regulares. Se basa en el aumento de longitud, área o volumen que se mide cuando un objeto fractal se amplía en un factor de escala fijo. (Un factor de escala es una constante igual al cociente de dos longitudes, áreas o volúmenes proporcionales. También se denomina constante de proporcionalidad).

Basado en la experiencia de varios autores, mis opiniones, perspectivas y recomendaciones se expresarán a continuación (o en otros lugares de esta plataforma, respecto a las características en 2026 o antes, y el futuro de esta cuestión):

Por ejemplo, la dimensión de Hausdorf de una línea de costa se define como D = log(aumento de longitud)/log(factor de escala). Si la longitud de una línea de costa aumenta en un factor de cuatro cada vez que se amplía en un factor de tres, entonces su dimensión de Hausdorf viene dada por log(Aumento de longitud)/ log(factor de escala) = log(4)/log(3) = 1,26. Por lo tanto, no es la longitud que caracteriza propiamente una línea de costa sino su dimensión de Hausdorf. Por último, entonces, un conjunto fractal se define como un conjunto de puntos en una línea, en un plano o en el espacio, que tienen una apariencia fragmentada o irregular en todos los niveles de ampliación, con una dimensión de Hausdorf que es estrictamente mayor que su dimensión topológica.

El gran interés por los conjuntos fractales proviene del hecho de que la mayoría de los objetos naturales se parecen más a fractales que a figuras geométricas regulares. Por ejemplo, las nubes, los árboles y las montañas se parecen más a figuras fractales que a círculos, triángulos o pirámides. Así, los conjuntos fractales son utilizados por los geólogos para modelar los meandros de los ríos y las formaciones rocosas de las montañas, por los botánicos para modelar los patrones de ramificación de árboles y arbustos, por los astrónomos para modelar la distribución de la masa en el universo, por los fisiólogos para modelar el sistema circulatorio humano, por los físicos e ingenieros para modelar la turbulencia en los fluidos y por los economistas para modelar el mercado de valores y la economía mundial. A menudo, los conjuntos fractales pueden generarse mediante reglas bastante sencillas. Por ejemplo, un polvo fractal se obtiene empezando con un segmento de línea y eliminando el centro un tercio, luego eliminando el centro un tercio de los dos segmentos restantes, luego el centro un tercio de esos segmentos restantes y así sucesivamente.

Reglas de generación como ésta se implementan fácilmente y se muestran gráficamente en los ordenadores. Dado que algunos conjuntos fractales se asemejan a montañas, islas o costas, mientras que otros parecen nubes o copos de nieve, los fractales han cobrado importancia en el arte gráfico y la producción de efectos especiales. (Se dice que dos figuras geométricas son semejantes si sus formas correspondientes son iguales pero las medidas correspondientes están en la misma proporción, o tienen el mismo factor de escala).

Por ejemplo, los mundos falsos, generados por ordenador, se utilizan en películas y series de televisión de ciencia ficción, en DVD (discos versátiles digitales) y en videojuegos, porque se generan fácilmente a partir de un conjunto de instrucciones que ocupan relativamente poca memoria informática.

Revisor de hechos: Harrods y Mix

Fractales en Economía

En inglés: Fractals in economics. Véase también acerca de un concepto similar a Fractales en economía.

Introducción a: Fractales en este contexto

Los fractales se han convertido en herramientas cada vez más útiles para la modelización estadística de los precios (véase también acerca de la teoría de precios) financieros. Mientras que las primeras investigaciones asumían la invariabilidad de la densidad de la rentabilidad con el horizonte temporal, recientemente se han desarrollado nuevos procesos para captar los cambios no lineales en la dinámica de la rentabilidad a través de las frecuencias. Este tema puede ser de interés para los economistas profesionales. El multifractal de conmutación de Markov (MSM) es un modelo parsimonioso de volatilidad estocástica que contiene un número arbitrario de perturbaciones de duración heterogénea. El MSM capta los valores atípicos, la persistencia de la volatilidad y la variación de la potencia de las series financieras, al tiempo que permite la estimación de máxima verosimilitud y la previsión analítica en varios pasos. MSM se compara favorablemente con los modelos de volatilidad estándar, como GARCH(1,1), tanto dentro como fuera de la muestra. Este texto tratará de equilibrar importantes preocupaciones teóricas con debates empíricos clave para ofrecer una visión general de este importante tema sobre: Fractales. Para tener una panorámica de la investigación contemporánea, puede interesar asimismo los textos sobre economía conductual, economía experimental, teoría de juegos, microeconometría, crecimiento económico, macroeconometría, y economía monetaria.

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Datos verificados por: Sam.

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