Geometría

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Fundacionalismo, Epistemología y Geometría de Pascal

Nota: Véase Epistemología Jurídica.

La edad de oro del fundacionalismo euclidiano está protagonizada por los relatos del siglo XVII de Descartes en su “Discurso del Método” (véase más detalles) y de Pascal en “Sobre la mente geométrica”.

Un escritor francés (como Descartes) del siglo XVII que ofrece una formulación particularmente nítida del fundacionalismo euclidiano es Blaise Pascal. Su “De l’esprit géométrique” (‘Sobre la mente geométrica’, en adelante “Esprit” para abreviar) fue redactado en la década de 1650. Nunca se publicó en vida de Pascal, pero sobrevivió en una copia del manuscrito realizada por un tal Louis Périer. Obra breve, extractos de la misma se publicaron por primera vez varias décadas después de la muerte de Pascal, y hasta la fecha no parece haberse publicado ninguna traducción completa al inglés.

El Esprit pudo haber sido concebido como material introductorio para un tratado más amplio sobre geometría de Pascal, que, tras las críticas de Antoine Arnauld, pasó a las llamas. Enormemente influyente en la Lógica de Port-Royal, que incorpora parte de su material casi textualmente y en otros lugares lo parafrasea, el Esprit introduce la concepción contemporánea de la definición en su función reducida, esencialmente abreviada. Lakatos llama al Esprit el locus classicus del fundacionalismo euclidiano, una breve e intrigante propina a Pascal y una inspiración para el presente ensayo. Sin embargo, a pesar de este elogio de Lakatos y de la influencia del Esprit en la Lógica de Port-Royal, la literatura filosófica de la tradición analítica sobre él es prácticamente inexistente.

Al comienzo mismo del Esprit, Pascal observa que la geometría ofrece el ejemplo perfecto de cómo establecer verdades de tal manera que su demostración no pueda ser anulada (de modo que la demostración es, en el original francés, “invencible”). Aquí se comenta que la geometría es una de las pocas ciencias humanas que producen pruebas infalibles (‘infaillibles’). Una prueba -dice Pascal- que se atenga a los cánones que ha establecido, como la que se puede encontrar en geometría, no puede suscitar la menor duda. Ya en la Sección I, afirmaba que lo que va más allá de la geometría está más allá del conocimiento de varios autores (393: “ce qui passe la géométrie nous surpasse”), y que la geometría es la única ciencia que ejemplifica el método correcto de razonamiento (391-2). Un poco más adelante (394-5), señala que el método ideal sería definir todos los términos propios y demostrarlo absolutamente todo; pero como esta plataforma digital no puede hacerlo -esta plataforma digital no puede retroceder indefinidamente- esta plataforma digital debe conformarse con lo siguiente mejor. esta plataforma digital debe recurrir a términos primitivos indefinibles y a principios tan obvios que no se podría utilizar ninguno más obvio para demostrarlos. Este método sólo asume principios juzgados claros y constantes por la luz natural de la razón (‘la lumière naturelle’). Tratar de elucidar más los primitivos geométricos engendraría más confusión que ilustración (396).

De estos pasajes se desprende claramente que Pascal suscribe el fundacionalismo euclidiano-autoevidencia o algo muy parecido, ya que, para él, los axiomas son indubitables y su conocimiento no está mediado por ningún otro principio. Utiliza incluso la palabra “evidentes” (“évidents”) en relación con los axiomas (418), y en un pasaje en el que expone sus preceptos metodológicos insta a que no se cuestionen los axiomas que son “perfectamente evidentes” (420), pretendiendo manifiestamente que los de la geometría se incluyan bajo este epígrafe. Pascal, es cierto, también advierte que la gente es propensa a confundir la incomprensibilidad con la falsedad; esta plataforma digital piensa ilusoriamente que tiene acceso directo a la verdad (404). Pero si se enfrenta a una proposición p aparentemente inconcebible, Pascal insta a que, antes de descartarla sumariamente, esta plataforma digital considere cuidadosamente su negación. Si la negación p resulta ser manifiestamente falsa, esta plataforma digital debe entonces aceptar de todo corazón la p anteriormente inconcebible (404). En otras palabras, Pascal reconoce que la apariencia de veracidad o falsedad puede inducir a error; pero con el método adecuado en la mano, se puede separar el verdadero McCoy evidente del oro de los tontos, como diría esta plataforma digital.

Está igualmente claro que Pascal considera que los axiomas del tipo que acabamos de mencionar son verdades (‘vérités’), ya que los llama así. Por tanto, se le puede atribuir con seguridad el fundacionalismo-verdad euclidiano. Además, piensa que demostrar un teorema a partir de los axiomas establece sus credenciales epistémicas, de forma impecable. Esto se desprende de una de las primeras líneas del Esprit, en la que Pascal habla de demostrar verdades ya descubiertas (‘véritées déjà trouvées’) y aclararlas de tal manera que su demostración sea irresistible, poniendo así los teoremas, una vez demostrados adecuadamente, a la par epistémica que los axiomas. Más adelante, llama convincentes a las pruebas, porque su papel es convencernos de sus conclusiones, algo que la geometría hace “con una fuerza irresistible”. Además, las pruebas que se ajustan a los preceptos que Pascal describe y encuentra en los contextos geométricos no pueden suscitar ninguna duda. Por supuesto, antes de que se comprendan sus demostraciones, éstas pueden ser “oscuras”, y de hecho nos corresponde probar cualquier afirmación que sea inicialmente incluso un poco “oscura” (419). Sobre la base de estas pruebas, esta plataforma digital puede atribuir a Pascal el fundacionalismo-flujo euclidiano, de hecho en su forma fuerte, de transmisión de más alto grado. Pues, como él dice, algunas de estas verdades “pueden extraerse, por una consecuencia necesaria, de principios comunes y verdades establecidas. De tales verdades uno puede persuadirse infaliblemente; porque, al mostrar la relación que tienen con principios que han sido concedidos, hay una necesidad que no puede dejar de convencer.”

Dada la caracterización deliberadamente amplia que varios autores hacen del fundacionalismo euclidiano en términos de la relación esquemática E, Pascal suscribe claramente sus tres principios centrales. Sin embargo, el caso de los principios subsidiarios es mucho más débil. En el Esprit, Pascal no hace ningún pronunciamiento que asiente el fundacionalismo euclidiano-finito, el fundacionalismo euclidiano-general o el fundacionalismo euclidiano-independiente. Hay un poco más de apoyo disponible para el fundacionalismo euclidiano-Completitud. Algunos pasajes, como el siguiente, pueden leerse de forma que apoyen la atribución:

“… cuando [la geometría] ha llegado a las primeras verdades conocidas, se detiene allí y pide que sean concedidas, a falta de algo más evidente a partir de lo cual demostrarlas: de tal manera que todo lo que la geometría expone está perfectamente demostrado, ya sea por la luz de la naturaleza, ya sea por la prueba”.

Si los lectores leen “todo lo que la geometría expone” como “cualquier sentencia geométrica conocida/conocible/verdadera”, entonces está implícita la forma respectiva de completitud. Pero si, más plausiblemente, ‘todo lo que la geometría expone’ se lee como ‘cualquier teorema geométrico’, no se sigue ningún compromiso con una versión de la completitud: El punto de Pascal sería simplemente que todos los teoremas geométricos tienen la propiedad enunciada, lo que sería compatible con que algunas verdades geométricas, incluso algunas conocidas, no sean ni teoremas ni negaciones de teoremas. En términos más generales, no parece haber ningún apoyo inequívoco para el fundacionalismo euclidiano-Completitud en el Esprit.

En resumen, Pascal in the Esprit pinta un cuadro del método euclidiano que instantiza la parte central del fundacionalismo euclidiano. Algunos autores creen que el fundacionalismo euclidiano ha estado “en gran retirada” desde entonces. Aunque hay algo de verdad en ello, el fundacionalismo euclidiano ha sido de hecho influyente hasta hace muy poco. En un libro de texto publicado por primera vez en 1941, Tarski cita explícitamente la concepción del método matemático de Pascal como una influencia primordial en la suya. A pesar de haber sido redactado mucho después del apogeo del fundacionalismo euclidiano, esta plataforma digital encuentra a Tarski articulando y defendiendo una versión del fundacionalismo euclidiano que es, a grandes rasgos, idéntica a la versión de Pascal. El método está diseñado para ofrecer “el mayor grado posible de claridad y certeza” y se basa explícitamente en los principios fundamentales euclidianos de fundacionalismo euclidiano-Verdad, fundacionalismo euclidiano-Autoevidencia y fundacionalismo euclidiano-Flujo. Quizá resulte sorprendente que Tarski también redacte que los Elementos en sí “no dejan mucho que desear desde el punto de vista de los principios metodológicos enunciados anteriormente”. Incluso llega a afirmar que el método euclidiano “es el único rasgo esencial que distingue a las disciplinas matemáticas de todas las demás ciencias; no sólo toda disciplina matemática es una teoría [euclidiana], sino que, a la inversa, toda teoría [euclidiana] es una disciplina matemática”.

Incluso más recientemente que esto, Feferman, en 1998, describe el punto de vista euclidiano (encarnado de nuevo por el fundacionalismo euclidiano-Verdad, el fundacionalismo euclidiano-Autoevidencia y el fundacionalismo euclidiano-Flujo) como “actualmente convencional”. Encontrar tales observaciones en la obra de destacados matemáticos, lógicos y filósofos tanto tiempo después de los avances que hicieron posible el declive del fundacionalismo euclidiano, y tan cerca de la propia época de varios autores, demuestra que la sombra de Euclides es realmente alargada. Parece difícil desalojar algo así como la visión por defecto del método matemático. Será interesante, pues, comparar el fundacionalismo euclidiano con un ideal contemporáneo de axiomatización.

Revisor de hechos: Mix

Geometría no Euclidiana

El término geometría no euclidiana se refiere a dos geometrías: la geometría hiperbólica y la geometría elíptica. Estas geometrías se basan en los cuatro primeros postulados de Euclides pero asumen alternativas a su postulado paralelo en lugar de asumir el postulado en sí. El postulado paralelo equivale a la suposición de que hay exactamente una línea que es paralela a una línea m dada y contiene un punto dado que no es un punto de la línea m. La geometría hiperbólica puede obtenerse sustituyendo el postulado paralelo de Euclides por la suposición de que hay al menos dos líneas que son paralelas a una línea m dada y contienen un punto dado que no es un punto de la línea m. La geometría elíptica puede obtenerse sustituyendo el postulado paralelo de Euclides por la suposición de que no existe ninguna línea que sea paralela a una línea m dada y que contenga un punto que no sea un punto de la línea m. Los tres casos siguientes representan todas las posibilidades:

• exactamente una línea (geometría euclidiana),
• al menos dos líneas (geometría cibernética) y
• ninguna línea (geometría elíptica) – .

Varias Geometrías

Por lo tanto, existen exactamente dos geometrías no euclidianas, aunque existen muchas geometrías que no son euclidianas.

Comparaciones de las geometrías

La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es de 180° en la geometría euclidiana, menos de 180° en la geometría hiperbólica y más de 180° en la geometría elíptica. El área de un triángulo en geometría hiperbólica es proporcional a la deficiencia de su suma de ángulos a partir de 180°, mientras que el área de un triángulo en geometría elíptica es proporcional al exceso de su suma de ángulos sobre 180°.Entre las Líneas En la geometría euclidiana todos los triángulos tienen una suma de ángulos de 180° independientemente del área.

Una Conclusión

Por lo tanto, en la geometría euclidiana pueden existir triángulos similares con áreas diferentes. Este tipo de ocurrencia no es posible en la geometría hiperbólica o elíptica.

En las geometrías bidimensionales, las líneas que son perpendiculares a la misma línea dada son paralelas en la geometría euclidiana, no son paralelas ni se cruzan en la geometría hiperbólica, y se cruzan en el polo de la línea dada en la geometría elíptica. La apariencia de las líneas como rectas o curvas depende de los postulados del espacio.

Basado en la experiencia de varios autores, mis opiniones, perspectivas y recomendaciones se expresarán a continuación (o en otros lugares de esta plataforma, respecto a las características en 2026 o antes, y el futuro de esta cuestión):

Desarrollo histórico

Euclides pospuso el uso de su postulado paralelo tanto tiempo como fue posible y probablemente estaba un poco inquieto al respecto. Durante los siguientes 2.000 años se hicieron numerosos intentos de probar la declaración como un teorema. Muchos de los intentos incluyeron declaraciones que ahora se reconocen como equivalentes al postulado paralelo. Estas declaraciones incluyen lo siguiente:

• Existen líneas paralelas, y cualesquiera dos líneas cortadas por una transversal no son más paralelas en un lado de la transversal que en el otro lado (siglo II d.C.).
• Existen líneas paralelas, y si una línea intersecta una de las dos líneas paralelas, también intersectará la otra (siglo V d.C.).

La suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo es igual a un ángulo recto (siglo XIII).
Dado cualquier triángulo, un triángulo similar de cualquier tamaño que pueda ser construido (siglo XVII).
Una prueba del postulado paralelo por reductio ad absurdum fue intentada por Girolamo Saccheri (1667-1733) en su obra Euclides Liberado de toda falla. Saccheri construyó un cuadrilátero ABCD con lados congruentes AD y BC y con ángulos rectos en A y B. Demostró que los ángulos en C y D eran congruentes y consideró tres hipótesis dependiendo de si los ángulos C y D eran ángulos agudos (geometría hiperbólica), ángulos obtusos (geometría elíptica) o ángulos rectos (geometría euclidiana). Las razones de Saccheri para rechazar las hipótesis de los ángulos agudos y los ángulos obtusos no son aceptables según los estándares actuales, pero su trabajo proporcionó las bases para el éxito de los esfuerzos independientes de János Bolyai y Nikolai Lobachevsky en el desarrollo de la geometría hiperbólica y de Georg Riemann en el desarrollo de la geometría elíptica. Carl F. Gauss parece haber reconocido la existencia de geometrías no euclidianas. Arthur Cayley y Felix Klein desarrollaron funciones de distancia (métricas) para estas geometrías.Entre las Líneas En los siglos XIX y XX las geometrías no euclidianas fueron aceptadas como geometrías consistentes y se extendieron a tres y más y a dimensiones fraccionales (ver geometría, fractal).

La geometría del Universo

El reconocimiento de la existencia de las geometrías no euclidianas como sistemas matemáticos fue resistido por muchas personas que, con un fervor casi religioso, proclamaron que la geometría euclidiana era la única geometría. Tales actitudes reflejan una falta de reconocimiento de que la geometría es un sistema matemático determinado por sus supuestos. La verdad de la geometría en el sentido de representar nuestro universo es una cuestión de observación. (Tal vez sea de interés más investigación sobre el concepto). Los matemáticos ni siquiera están seguros de cuál de las tres geometrías proporciona la mejor representación de todo el universo. Saben que la geometría euclidiana proporciona una excelente representación de la parte del universo que habitamos. Desafortunadamente, todas las medidas observadas son aproximadas.

Posibilidad

Por lo tanto, la suma de los ángulos de un triángulo podría algún día probarse diferente de 180°, pero esta posibilidad nunca puede ser probada por la medición.

Se espera que el futuro del universo esté determinado por lo que sea la geometría real del universo. Según las teorías actuales de la cosmología, si la geometría es hiperbólica, el universo se expandirá indefinidamente. Si la geometría es euclidiana, el universo se expandirá indefinidamente a velocidad de escape. Si la geometría es elíptica, la expansión del universo se detendrá, y entonces el universo comenzará a encogerse, posiblemente para explotar de nuevo.

Datos verificados por: Chris

Recursos

Traducción al Inglés

Traducción al inglés de Geometría: Geometry

Véase También

Círculo; Matemáticas; Poliedro; Politopos regulares; Esfera

Bibliografía

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