Historia de las Matemáticas

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Antigua Historia de las Matemáticas: Mesopotamia

El antiguo Oriente Próximo ha proporcionado a los arqueólogos cientos de tablillas de arcilla que contienen textos matemáticos escritos en cuneiforme. Las más antiguas datan de principios del III milenio a. C., y las más recientes de los últimos siglos antes de nuestra era.

Cuando el asiriólogo François Thureau-Dangin y el matemático Otto Neugebauer comenzaron a publicar estos escritos muy antiguos en la década de 1930, la comunidad científica descubrió que tradiciones matemáticas extremadamente sofisticadas habían precedido en varios milenios a las que se conocían entonces, especialmente en lengua griega y china. Los inicios de la historia de las matemáticas retrocedían casi tres mil años en el pasado. Las matemáticas del antiguo Oriente Próximo son, por tanto, las más antiguas de la historia y las más recientes de la historiografía.

Más de tres mil años están documentados por la escritura en arcilla, que se practicaba en una vasta región que se extendía desde el Mediterráneo oriental hasta el actual Irán. Un período histórico tan extenso ha dado lugar a tradiciones matemáticas muy diferentes entre sí. De hecho, los contextos sociales, económicos y políticos han cambiado considerablemente a lo largo de este largo período. En este vasto espacio, la tecnología de la escritura y el cálculo ha evolucionado con el tiempo, y las comunidades interesadas en las especulaciones matemáticas han podido variar. Las preocupaciones, las tecnologías disponibles y las herencias culturales de las élites políticas de los grandes Estados centralizados de finales del III milenio, de los maestros de las escuelas de escribas de principios del II milenio y de los sacerdotes de los templos de Babilonia de finales del I milenio no eran, de hecho, las mismas. En estos diferentes contextos, surgieron matemáticas de diferente contenido y estilo.

Al cruzar los datos proporcionados por las bases de datos en línea, en particular la de la Iniciativa de la Biblioteca Digital Cuneiforme (CDLI), los inventarios de los museos y las publicaciones recientes, se puede estimar en unos dos mil quinientos el número de tablillas matemáticas conocidas hasta la fecha. Esta producción no conoció continuidad ni regularidad durante los tres mil años de historia del antiguo Oriente Próximo. La inmensa mayoría de las tablas matemáticas que han llegado hasta nosotros datan de la época paleobabilónica. Algunos períodos, como los de la III dinastía de Ur y el Imperio neoasirio, aunque muy prolíficos en textos escritos, han proporcionado muy pocos textos pertenecientes a esta disciplina. Los pocos textos datados de los periodos situados entre mediados del II milenio y mediados del I milenio son elementales, mientras que la escasa producción de las épocas tardías (aqueménida y seléucida) es de un contenido matemático muy elaborado.

Los textos arcaicos

Los vestigios escritos más antiguos aparecen hacia el año 3500 a. C. en las ciudades de Urk (Mesopotamia meridional) y Susa (oeste de Irán actual). Existen dos tesis opuestas sobre la invención de la escritura: una, defendida por Denise Schmandt-Besserat, hace hincapié en la continuidad entre la escritura y los sistemas de contabilidad mediante objetos de arcilla de diversas formas, más antiguos, atestiguados desde el V milenio en Oriente Próximo; la otra, defendida por Jean-Jacques Glassner, hace hincapié en el carácter fundamentalmente innovador, incluso revolucionario, de la escritura.

Los primeros escritos, que aún no se han descifrado por completo, son esencialmente signos numéricos y metrológicos trazados en tablillas de arcilla. Suelen reflejar sistemas de registro de bienes como grano, cerveza o ganado, o a veces proporcionan las dimensiones de vastos territorios. La función de estos escritos pudo ser económica, política o jurídica.

Si aceptamos que todo procedimiento de cuantificación es matemático (en sentido amplio), podemos considerar que las matemáticas en Mesopotamia comienzan con la escritura. La enciclopedia del CDLI afirma que el «texto matemático más antiguo conocido» es una tablilla de Uruk, fechada aproximadamente en el año 3350 a. C., que contiene las dimensiones de áreas de forma cuadrangular de más de 6 kilómetros de lado.

Hay textos matemáticos indiscutibles que datan de las dinastías arcaicas: se trata de cinco tablas que proporcionan el área de cuadrados o rectángulos según sus dimensiones. El período histórico conocido como las dinastías arcaicas, también llamado de los estados-ciudad, abarca buena parte del III milenio (aproximadamente 2900-2340). Unas treinta ciudades-estado se disputaban entonces el control de la llanura mesopotámica y mantenían relaciones complejas, alternando fases de hostilidad y diplomacia. Los intereses territoriales eran cruciales, y algunas inscripciones reales dan estimaciones numéricas de los territorios en disputa.

Las cinco tablas de superficie que datan de las dinastías arcaicas conocidas hasta la fecha proceden de las ciudades de Shuruppak y Adab en el bajo Mesopotamia, o de los alrededores de estas ciudades. La tabla encontrada en Shuruppak refleja métodos de evaluación de grandes territorios. Podría haber sido una herramienta de trabajo para los «registradores de tierras», dignatarios que ocupaban el tercer rango en la jerarquía de poder en Shuruppak. La evaluación de la extensión de los territorios probablemente respondía a preocupaciones políticas o militares. La tabla de Adab, en cambio, trata de superficies de unos pocos metros cuadrados o menos, y se presenta como una sucesión de pequeños problemas matemáticos; por lo tanto, no respondía a los mismos objetivos que la anterior y atestigua una concepción más abstracta del concepto de superficie. Estos ejemplos muestran que el problema de la evaluación de superficies estuvo en el centro de las especulaciones matemáticas más antiguas que se nos disputan.

En la segunda mitad del siglo III d. C. surgió una innovación de capital importancia para las matemáticas: la notación sexagesimal posicional. Esta nueva forma de escribir los números simplificaba considerablemente el cálculo de superficies. Probablemente surgió en el contexto de la refundición de las metrologías emprendida por los soberanos de los grandes Estados centralizados que se establecieron en Mesopotamia tras el fin de las dinastías arcaicas. Los textos más antiguos que atestiguan el uso sistemático de la notación sexagesimal posicional son tablas de inversas que datan de la IIIª dinastía de Ur.

La notación sexagesimal posicional se encuentra principalmente en textos matemáticos. Se parece en cierto modo a la que utilizamos hoy en día para expresar duraciones en segundos, minutos y horas. Nuestro moderno sistema sexagesimal es, de hecho, heredado de estas antiguas tradiciones babilónicas, que se transmitieron a lo largo de los milenios en la propia Mesopotamia, y luego se difundieron a través de la astronomía, por un lado hacia el oeste en el mundo mediterráneo y europeo, y por otro hacia el este en el subcontinente indio con tradiciones eruditas.

La época paleo-babilónica

Las escuelas de escribas aparecieron probablemente en Mesopotamia desde los inicios de la escritura. Pero nos han llegado pocos documentos relacionados con la enseñanza en los milenios IVo y IIIo. En cambio, una abundante documentación nos informa sobre las escuelas que funcionaban en la época paleo-babilónica. Están atestiguadas en todo el Oriente cuneiforme. Las escuelas más prestigiosas estaban en Nippur, la gran capital religiosa y cultural de la antigua Mesopotamia, el lugar por excelencia de transmisión de la herencia cultural sumeria. Allí todavía se enseñaba sumerio, una lengua que se había utilizado en Mesopotamia en el III milenio a. C., cuando había desaparecido del uso común en favor de una lengua semítica, el acadio.

En la época paleo-babilónica, las escuelas del antiguo Oriente Próximo incluían las matemáticas en el plan de estudios de los futuros escribas. La enseñanza en general y la de las matemáticas en particular parecen haber adoptado diversas formas. En algunos lugares, la enseñanza se impartía en el ámbito familiar y se limitaba a la transmisión de los fundamentos del arte de la escritura.

En Nippur, donde se ha encontrado una enorme cantidad de textos escolares, de los cuales más de mil contienen ejercicios matemáticos, las escuelas debían funcionar a una escala mucho mayor. La presencia de textos eruditos, literarios y matemáticos, sugiere que estas escuelas eran también centros de la vida intelectual. Un lote de tablillas de Tell Haddad (valle del Diyala, norte de Irak), que incluye documentos administrativos, contratos, cartas, tablillas escolares matemáticas y léxicas, literatura sumeria, textos litúrgicos y mágicos, podría ser testimonio de una enseñanza respaldada por una biblioteca, con un componente profesional orientado a la liturgia.

En otros contextos, como en el entorno de los mercaderes asirios, la formación se basaba principalmente en la práctica del oficio. En ocasiones, los sacerdotes desempeñaban un papel en la formación, como demuestran los casos de Ur y Tell Haddad. Pero no siempre era así. Algunas escuelas parecen haber reclamado su independencia del clero, como lo demuestra este proverbio encontrado en tablillas escolares de Nippur y Ur: «El escriba caído se convierte en sacerdote».

Los problemas matemáticos de nivel avanzado podían tratar diversos temas: dimensiones de los campos, transporte de ladrillos, excavación de canales de riego, almacenamiento de grano, construcción de murallas, compra y venta, beneficios e intereses, y muchos otros. No estaban desvinculados de las preocupaciones de los administradores a cargo de las obras de riego, la producción agrícola o la gestión de instituciones reales o religiosas. De hecho, los datos cuantitativos utilizados en la formulación de los problemas parecen coherentes con la información que se encuentra en los textos de la práctica. Por ejemplo, en el siguiente problema (tableta YBC 4663), que trata sobre el coste de excavar una zanja, los valores dados para el salario de un trabajador o para la cantidad de trabajo diario que debía realizar se corresponden con los datos que se encuentran en los textos administrativos de la misma época y la misma región.
Tableta YBC 4663, problema 1:

«Una zanja. 5 ninda de longitud, 1 ½ ninda de ancho, ½ ninda de profundidad, 10 gin de volumen asignado, 6 še [de plata] de [salario diario de un trabajador]. La base, el volumen, el número de trabajadores y el dinero [de los salarios] ¿cuánto? Tú, para saberlo:

La longitud por la anchura da el producto, 7:30 te dará. 7:30 por la profundidad multiplicado, 45 te dará. El inverso del volumen asignado desata, 6 te dará. Por 45 multiplicado, 4:30 te dará. 4:30 por el salario multiplicado, 9 te dará. Esta es la forma de proceder. »

Este extracto corresponde a la primera sección del texto. Nuestra traducción sigue palabra por palabra el texto original. Las unidades de medida utilizadas son las siguientes: el ninda es una unidad de longitud que equivale a unos 6 metros; el gin es una unidad de volumen que equivale a unos 300 decímetros cúbicos (el «volumen asignado» es el volumen de tierra que cada trabajador debe extraer cada día); el še es una unidad de peso que equivale a unos 0,04 gramos.

A pesar de estos testimonios de realismo, no se puede considerar la matemática cuneiforme como «matemática aplicada». En primer lugar, porque en algunos problemas las situaciones descritas son abstractas y el vocabulario utilizado para resolver el problema es un vocabulario técnico artificial, elaborado únicamente para la matemática. Además, incluso cuando las enunciados de los problemas se refieren a elementos de la realidad, la situación descrita puede ser bastante artificial. Para ilustrar esta fantasía, aquí hay un problema que se encuentra en una tablilla (Str 368) conservada en la Biblioteca Nacional y Universitaria de Estrasburgo y traducida por François Thureau-Dangin. Describe la medida de un campo rectangular con un junco roto:

«Tomé un junco. No conozco su dimensión. Le resté 1 codo, luego fui 1 sosse [60 veces] por el costado [la longitud]. Lo que le había quitado, se lo devolví, y luego fui 30 veces por la frente [el ancho]. La superficie es 6’15. ¿Cuál es la [longitud] original de la caña?

Una parte importante de los textos matemáticos no tienen ninguna relación con la realidad. Algunos tratan de algoritmos de cálculo numérico que explotan los recursos de la base 60, rica en divisores. El más común de estos algoritmos es el que permitía factorizar números para calcular inversas, raíces cuadradas o raíces cúbicas. Otro ejemplo de matemáticas abstractas lo proporciona la tablilla Plimpton 322, que ofrece una lista de trillizos pitagóricos. Esta tablilla es conocida mucho más allá del círculo de especialistas, especialmente entre los matemáticos, que se deleitan con ella.

Los maestros de las escuelas de escribas del bajo Mesopotamia se presentan como sabios inventivos y poco preocupados por las vicisitudes cotidianas, pero buenos conocedores de los asuntos de la ciudad. Debieron existir fuertes relaciones entre los círculos de eruditos, probablemente vinculados a las escuelas de escribas, y los círculos encargados del control de las tierras, la planificación del trabajo, las grandes obras, las obras militares, el comercio o los asuntos jurídicos.

Otros círculos de eruditos, cuya cultura matemática era sensiblemente diferente de la de los sabios activos en las ciudades del sur, exploraron otras ideas originales en diversos centros, por ejemplo en la región de Susa en Irán, en el valle del Diyala en el norte de Irak, o en Mari, en Siria. La matemática cuneiforme fue sin duda mucho más diversa de lo que pensaban los primeros editores de textos matemáticos cuneiformes, François Thureau-Dangin y Otto Neugebauer. Los historiadores perciben hoy mejor el contraste entre el carácter estereotipado de la enseñanza de la matemática en el nivel elemental, evidentemente marcado por la influencia de Nippur, y la diversidad de las tradiciones matemáticas desarrolladas en diferentes regiones o medios.

Las épocas aqueménida y helenística

Mientras que la historia intelectual del IIº milenio es inseparable de la de las escuelas de escribas, la del Iº milenio es inseparable de la de las bibliotecas. Las políticas reales de constitución de grandes bibliotecas comenzaron sin duda a finales del IIº milenio y continuaron a gran escala en el primer milenio. Los reyes asirios emprendieron la recopilación de los escritos conservados en las diferentes ciudades de Mesopotamia. De este modo impulsaron la creación de gigantescas bibliotecas, siendo las más importantes las de Asur y Nínive. Estas nos han proporcionado numerosos textos médicos y astrológicos, poco documentados en los períodos anteriores en Mesopotamia. Su contenido muestra un creciente interés de los sabios por la observación de los fenómenos celestes, en relación con una evolución de las prácticas de adivinación hacia la astrología.

La astronomía observacional aparece hacia el siglo VII a. C. con la puesta en marcha en el templo de Marduk en Babilonia de un programa de observación sistemática y diaria de las posiciones de los planetas y la Luna, programa que se mantuvo de forma continua durante casi siete siglos. Esta enorme cantidad de información proporcionó el material básico de la astronomía babilónica, y luego de la egipcia y la griega. La mayoría de los textos cuneiformes de astronomía matemática que han llegado hasta nosotros datan del periodo helenístico (323-63 a. C.): efemérides, almanaques, horóscopos. Estos textos utilizan sistemáticamente los doce signos del zodíaco para localizar las posiciones de los astros, y la notación sexagesimal posicional para los cálculos. Los eruditos del mundo helenístico eran sacerdotes altamente educados, sin duda helenizados. Pertenecían a poderosas familias vinculadas al clero de los grandes templos. Los astrónomos también eran matemáticos y astrólogos.

Es difícil decir si el aparente resurgimiento de la actividad matemática durante las épocas tardías es resultado de descubrimientos arqueológicos fortuitos, o si es testimonio de un resurgimiento del uso del barro como soporte de la escritura, o si corresponde a un renacimiento de la actividad matemática en relación con el desarrollo de la astronomía matemática. La documentación cuneiforme desaparece por completo a principios de nuestra era. Esto no significa que la tradición de la ciencia se haya extinguido repentinamente en la región. La causa de la desaparición de los textos cuneiformes fue probablemente un cambio en el soporte de la escritura: el uso del barro, indestructible, desapareció gradualmente en favor del papiro, el cuero y los escritorios de madera recubiertos de cera, perecederos.

El medio que produjo el conocimiento en las ciencias astrales, reducido esencialmente a unas pocas grandes familias de sacerdotes de los templos de Uruk y Babilonia, es también el que está en el origen del pequeño corpus de textos matemáticos de las épocas aqueménida y helenística conocidos hasta la fecha. Testimonia tanto la transmisión a lo largo de los siglos de las tradiciones matemáticas que habían surgido en las escuelas de escribas más de mil años antes, como de notables innovaciones. Vemos, por ejemplo, que los eruditos de Uruk y Babilonia siguieron utilizando en matemáticas la metrología paleobabilónica, aunque había desaparecido por completo de los usos vigentes en las actividades administrativas y económicas de la época.

La diferencia entre las metrologías heredadas del pasado y las que se utilizaban en la práctica proporcionó a los eruditos un estimulante campo de reflexión matemática. Un conjunto de textos matemáticos de la época aqueménida procedentes de Uruk atestigua una gran destreza en el arte de calcular superficies según varios sistemas metrológicos diferentes.

Hasta la desaparición de la escritura cuneiforme, la notación sexagesimal posicional siguió siendo una herramienta básica para las matemáticas y el cálculo científico, así como para la astronomía, aunque en una forma algo diferente. Las técnicas de cálculo sexagesimal posicional se perfeccionaron, en particular con la ampliación del repertorio de números sexagesimales llamados regulares (es decir, aquellos cuya inversa admite una escritura sexagesimal exacta).

Por ejemplo, la tablilla AO 6456 de la época helenística, expuesta en el Museo del Louvre, contiene una lista de números sexagesimales regulares de gran tamaño, que pueden tener hasta seis posiciones sexagesimales, y sus inversos, que pueden tener hasta catorce posiciones sexagesimales. La tabla termina con el siguiente comentario: «Primera sección. Lista de inversos (comenzando) por 1 o por 2. No terminado». Este comentario podría indicar que el autor de la tabla quiso dar todas las números regulares que comienzan por 1 o 2, pero se dio cuenta de que no lo había logrado. Es posible que esta tablilla represente la «primera sección» de un proyecto más amplio de cálculo de los inversos de «todas» las números regulares.

La destreza en el cálculo sexagesimal posicional es uno de los rasgos más llamativos de la matemática de las épocas aqueménida y seléucida. La relación entre esta técnica de cálculo y las necesidades de la incipiente astronomía matemática es plausible, pero difícil de demostrar.

Revisor de hechos: EJ

Antigua Historia de las Matemáticas

Desde los albores de la civilización, la humanidad ha necesitado contar y medir. Incluso las primeras civilizaciones desarrollaron sistemas numéricos eficaces y eficientes. Las matemáticas antiguas son sorprendentemente sofisticadas y, en muchos casos, bastante similares a las matemáticas utilizadas en el siglo XXI.

Marcas en Huesos

Una evidencia temprana de un sistema de conteo fue encontrada en un hueso descubierto en la República Checa. Data de alrededor de 30.000 A.C. El hueso contiene 55 marcas individuales de conteo, divididas en 11 grupos de cinco marcas cada una, tal como las marcas de conteo podrían ser agrupadas en el siglo XXI. Una línea divisoria, que separa las primeras 25 marcas de las 20 restantes, hace que el total de las marcas de recuento sea aún más fácil. Nadie sabe exactamente lo que el dueño del hueso estaba contando, pero pueden haber sido animales domésticos como ovejas o algún tipo de animal de caza.

Otro antiguo hueso de conteo es el Hueso de Ishango, encontrado en la República Democrática del Congo. El Hueso de Ishango data de entre el 9000 A.C.E. y el 6500 A.C.E. Es un mango de herramienta de hueso, y también contiene marcas de conteo que probablemente se utilizaron para llevar un registro de artículos domésticos, tal vez ovejas o ganado.

Los Primeros Sistemas Numéricos

Es un corto salto conceptual de un sistema de conteo a un sistema numérico. Los primeros humanos dependían de las partes del cuerpo para llevar un recuento exacto. Muchas civilizaciones desarrollaron un sistema de base 10 *, que utilizaba 10 dedos como base para el conteo. Un sistema de base 10 todavía se utiliza en los tiempos modernos. Algunas culturas antiguas incluían los dedos de las manos y de los pies en un sistema de base 20 *. La palabra puntuación (20) se deriva del sistema numérico base-20.

La primera evidencia concreta de un sistema numérico proviene de un arma ceremonial egipcia que data del Rey Menes (3000 A.C.E.). Contiene jeroglíficos que describen el saqueo realizado por el rey. Una de las figuras jeroglíficas es probablemente exagerada, pero enumera 1.422.000 bueyes como parte del botín (véase qué es, su concepto; y también su definición como “booty” en el derecho anglosajón, en inglés) de la victoria. Si los jeroglíficos dan una cuenta exacta o no, no es importante. Lo que es significativo acerca de los números jeroglíficos es que hace más de 5.000 años, los egipcios podían comprender y representar números extremadamente grandes.

El sistema numérico egipcio era aditivo. Es decir, cada múltiplo de 10 tenía su propio símbolo. El número de bueyes, 1.422.000, se representaba con un solo símbolo para el 1.000.000, cuatro símbolos para el 100.000, dos símbolos para el 10.000 y dos símbolos para el 1.000. Para entender el número jeroglífico, era necesario encontrar la suma de todos los símbolos: (1 1,000,000)+ (4 100,000)+ (2 10,000) +(2 1,000). El sistema numérico actual es posicional. Un número como el 345 se entiende como (3 100)+ (4 10)+ (5 1).Entre las Líneas En el número 635, el número 3 tiene ahora el valor de 3 10. El sistema actual sólo tiene 10 dígitos, y ningún número hasta 9.999.999 requiere más de 7 dígitos. El sistema egipcio requería muchos más símbolos para representar los números.Entre las Líneas En el sistema egipcio, un número como el 45 requeriría cuatro 10 símbolos y cinco 1 símbolos. Aún así, el sistema numérico egipcio funcionó tan bien que esencialmente no hubo cambios durante 3.000 años después de su invención.

En general, téngase esto en cuenta:

• base-10 un sistema numérico en el que cada lugar representa una potencia de 10 mayor que el lugar a su derecha
• base-20 un sistema numérico en el que cada lugar representa una potencia de 20 más grande que el lugar a su derecha
• base-60 un sistema numérico usado por las antiguas culturas mesopotámicas para algunos cálculos en los que cada lugar representa una potencia de 60 más grande que el lugar a su derecha.

Muchos otros sistemas numéricos que siguieron al sistema numérico egipcio también fueron aditivos, incluyendo los números romanos que todavía se utilizan en el siglo XXI. Por ejemplo, la NFL usa números romanos para nombrar sus Super Bowls.Entre las Líneas En 2014, los Patriotas de Nueva Inglaterra ganaron el Super Bowl XLVIII (Super Bowl 48). Varios otros sistemas numéricos tempranos, como los desarrollados por las civilizaciones maya, inca y babilónica, rivalizan, y en algunos casos superan, el sistema numérico actual.

Los babilonios refinaron el sistema numérico que había sido utilizado por los sumerios. Los sumerios no dejaron ningún registro escrito para describir su sistema de números, pero parece que los babilonios lo adoptaron sin mucha alteración. (Tal vez sea de interés más investigación sobre el concepto). Aproximadamente en el 2500 A.C.E., los babilonios usaban un sistema numérico posicional similar al actual. Los babilonios usaban un sistema de base 60 *, con el valor de un símbolo dependiente de su posición en el número. Por ejemplo, usando símbolos modernos en el sistema babilónico, el número 632 representaría (6×602) + (3×601) + (2 × 600), o (6 × 3600) + (3×60) + (2 × 1) = 21.782 en el sistema base-10. El sistema babilónico continuó desarrollándose, y alrededor del año 500 a.C., las tablillas de arcilla mostraban números escritos con un símbolo que se usaba como un 0, el primer uso del 0 en un sistema posicional.

Los babilonios también usaron la base 60 para sus fracciones. Al usar la base -60 para fracciones y números enteros, los babilonios evitaron muchos de los problemas de cálculo asociados a las fracciones en el sistema numérico del siglo XXI.

Así, la tarea de encontrar un denominador común fue esencialmente eliminada en el sistema babilónico. Los babilonios también extendieron la base 60 a unidades de peso, distancia y tiempo. Los minutos de 60 minutos y los minutos de 60 segundos son heredados de los babilonios.

Alrededor del año 100 E.C., los Mayas de América Central desarrollaron un sistema numérico que era posicional como el sistema babilónico. Los Mayas usaban la base 20 en lugar de la base 60. Los Mayas también fueron los primeros en utilizar el 0 en su sistema numérico.

Unos 1.300 años después, los Incas de Sudamérica inventaron un sistema de registro que usaba un sistema posicional de base-10 y usaba el 0. Los Incas mantenían registros en una serie de cuerdas anudadas llamadas quipu. Los nudos en el cordón quipu indicaban el dígito, y la posición del cordón indicaba el valor del dígito, muy parecido al sistema numérico actual. Un cordón que faltaba se usaba para mostrar el 0.

Textos Tempranos

Los babilonios dejaron registros sobre sus matemáticas. Los babilonios escribieron en tablillas de arcilla en una escritura (su redacción) simple llamada cuneiforme. Una de las primeras tablillas de arcilla, llamadas Plimpton 322, muestra una tabla de valores de números enteros que encajan con el Teorema de Pitágoras. El Teorema de Pitágoras una declaración matemática que relaciona los lados de los triángulos rectos; el cuadrado de la hipotenusa es igual a las sumas de los cuadrados de los otros dos lados. Plimpton 322 data del 1900 A.C.E. al 1600 A.C.E.

Otras tablillas de arcilla contienen lo que parecen ser lecciones de matemáticas. Entre los problemas que se encuentran en las tablillas de arcilla están las ecuaciones cuadráticas * en la forma (en notación moderna) x2 + 6x = 16, y problemas que pueden ser representados como ecuaciones cúbicas. Las tablillas de arcilla muestran que los babilonios podían resolver sistemas de ecuaciones.

Otras tablas revelan que los babilonios usaron 3.125 para el valor de n, bastante cercano a la actual aproximación de 3.1416. Algunas tabletas contienen tablas de raíces cúbicas y cuadradas con gran precisión.

Papiro del Rin

Mientras los matemáticos babilonios inscribían matemáticas cuneiformes en sus tablillas de arcilla, los matemáticos egipcios escribían matemáticas jeroglíficas en papiro. Una de las mejores fuentes de matemáticas egipcias es el Papiro del Rhind, llamado así por el arqueólogo Henry Rhind. Mide 18 pies de largo y 13 pulgadas de ancho y data del año 1650 A.C.E (examine más sobre todos estos aspectos en la presente plataforma online de ciencias sociales y humanidades). Fue escrito por el copista Ahmes, quien afirmó estar copiando problemas que habían sido conocidos por los egipcios durante al menos 200 años. Así pues, los 85 problemas del Papiro del Rin datan de aproximadamente el año 2000 a.C. El Papiro del Rin es el primer texto aritmético que se ha escrito, y es esencialmente un manual de ejercicios de matemáticas.

Los problemas y las soluciones no rompen ningún fundamento teórico. Las soluciones se dan porque funcionan, y no porque estén justificadas o se demuestre lógicamente que son correctas.

Aunque los problemas se basan en matemáticas prácticas, es poco probable que los números específicos se encuentren en la vida cotidiana del antiguo Egipto, como muestra este problema: Dividir 23 barras de pan entre 17 hombres. El Papiro del Rin también contiene fórmulas para los volúmenes de los cilindros y prismas. Los problemas relacionados con los círculos dan el valor de p como 3.1604, un valor que se aproxima asombrosamente a la aproximación moderna de 3.1416.

Papiro de Moscú

Otra fuente de las matemáticas egipcias es el Papiro de Moscú, llamado así por el Museo de Bellas Artes de Moscú, donde está expuesto. Es mucho más pequeño que el Papiro del Rin, con 18 pies de largo y 3 pulgadas de ancho. El Papiro de Moscú data de alrededor de 1850 A.C.E. y contiene 30 problemas de ejercicios, escritos como los del Papiro del Rin. Los problemas eran “ya viejos”, según el copista. Uno de los problemas muestra la fórmula para el área de un trapezoide, A =½ (b1+b2)h, que es idéntica a la fórmula actual. Otro problema da la fórmula para el área de un paralelogramo en términos de sus cuatro longitudes laterales: A =¼ (a+c)(b+d).

Fórmula Incorrecta

Sin embargo, esta fórmula sólo funciona si el paralelogramo tiene una forma cercana a la de un rectángulo. Es fácil de mostrar que la fórmula es incorrecta para las formas extremas de paralelogramo, pero el objetivo de este papiro es el mismo que para el Papiro del Rín: proporcionar ejercicios, no matemáticas teóricas.

El Papiro de Moscú contiene un problema que pide el volumen del frustum de una pirámide. El frustum es la forma que queda si la parte superior de una pirámide es cortada por un plano paralelo a la base.

Misterio

Los historiadores matemáticos no pueden explicar cómo los egipcios encontraron esta fórmula. Las matemáticas necesarias para derivar la fórmula no existen hasta alrededor del 300 A.C., cuando los matemáticos griegos la redescubrieron. La única explicación posible es que, a través de una serie de muchos problemas, los egipcios descubrieron una ecuación que daba la solución correcta. Aunque la fórmula es válida para todas las frustas, no hubo ningún intento por parte del copista de generalizarla.

Basado en la experiencia de varios autores, mis opiniones, perspectivas y recomendaciones se expresarán a continuación (o en otros lugares de esta plataforma, respecto a las características en 2026 o antes, y el futuro de esta cuestión):

Otros textos de papiro

Otros textos de papiro matemático son el Rollo de Cuero Matemático Egipcio, que contiene 26 sumas de fracciones unitarias; el Papiro de Kahun, que contiene seis problemas no totalmente descifrados; el Papiro de Berlín, que contiene dos problemas que emplean ecuaciones simultáneas; y el Papiro de Reisner, que contiene cálculos de volumen.

Geometría

Los egipcios desarrollaron la geometría (rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades y relaciones de los puntos, líneas, ángulos, superficies, planos y sólidos) práctica, necesaria por las inundaciones del río Nilo cada primavera.

Las aguas de la inundación borraron todos los marcadores de límites, y cuando las aguas retrocedieron, las líneas de límite tuvieron que ser reestablecidas. Desde al menos el 2500 A.C.E., los egipcios utilizaron un caso especial del Teorema de Pitágoras para establecer las líneas fronterizas. Utilizaron cuerdas marcadas por nudos en 12 longitudes iguales. Luego, la cuerda podría tener la forma de un triángulo recto con lados de la proporción 3-4-5. Dos de estos triángulos forman un rectángulo, y al replicar los triángulos y rectángulos a lo largo de las orillas del Nilo, los egipcios podían restablecer las líneas de propiedad.

Pirámide de Saqqara

En el año 2750 A.C.E., los egipcios construyeron una pirámide en Saqqara, Egipto.

Las inscripciones en la pirámide indican que los constructores usaron coordenadas rectangulares para erigir los cimientos de la pirámide. El sistema de coordenadas egipcio es fundamentalmente el mismo sistema que se utiliza en el siglo XXI. El sistema de coordenadas moderno fue creado a mediados del siglo XVII, unos 4.000 años después del sistema egipcio.

Otra pirámide, la Gran Pirámide, data de aproximadamente el mismo período de tiempo. La Gran Pirámide demuestra las matemáticas prácticas de los egipcios. Las cuatro aristas de la base miden cada una 4,5 pulgadas de la longitud media de 751 pies. Cada cara triangular de la pirámide está orientada hacia uno de los puntos cardinales de la brújula con una precisión de un décimo de grado. Esta precisión es difícil de comprender pero, sin embargo, da testimonio del desarrollo práctico de las matemáticas que lograron los egipcios.

Datos verificados por: Chris

Sistema numérico real

La pregunta “¿Cuántos?” impulsó a las primeras civilizaciones a hacer marcas para registrar las respuestas. Las palabras y signos utilizados para registrar cuántos estaban casi seguramente relacionados con las partes del cuerpo: 2 ojos, 5 dedos de una mano y 20 dedos de los pies. Por ejemplo, la palabra dígito utilizada para los símbolos que componen todos los números (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) es “dedo” en latín.

Estos primeros números se llaman ahora el conjunto de números de conteo: {1, 2, 3, …}, y a veces este conjunto se llama los números naturales. Los números de conteo no incluyen el 0. Mientras que algunas culturas primitivas, incluyendo los egipcios, los chinos y los mayas, entendieron el concepto de cero, el dígito 0 no apareció hasta algún tiempo después de los otros nueve dígitos.

En el desarrollo más temprano del conteo, muchos idiomas usaban “uno, dos, muchos”, de modo que la palabra para tres puede haber significado simplemente “mucho”. Aparentemente, en todas partes la gente desarrolló sistemas de conteo basados en la repetición de algún grupo, como en el conteo de “un grupo de dos, un grupo de dos y uno, dos grupos de dos”. Los estudiosos saben que un escribano en Egipto usaba signos numéricos para registrar los impuestos ya en el 2500 A.C.E.

Se han encontrado cientos de tablillas de arcilla sin hornear que muestran que los babilonios, en la región conocida hoy como Irak, usaban marcas para uno y para 10 en los 1.700 años anteriores al nacimiento de Cristo. Estas tablillas muestran que la idea del valor del lugar se entendía y se utilizaba para escribir números. Los signos numéricos eran necesarios no sólo para contar ovejas o granos, sino también para llevar la cuenta del tiempo.

Muchas civilizaciones desarrollaron complejos sistemas matemáticos para hacer cálculos astronómicos y para registrar el calendario de las lunas llenas y los ciclos del sol. Estos primeros registros incluían fracciones, o números racionales, así como números enteros y utilizaban el valor del lugar de manera similar a la forma en que se escriben las fracciones decimales hoy en día.Entre las Líneas En un manuscrito, posiblemente del siglo VI, las fracciones se escribían con el numerador arriba y el denominador abajo, pero sin la línea divisoria entre ellos. La barra utilizada para escribir fracciones fue aparentemente introducida por los árabes alrededor del año 1000 E.C.

Las primeras formas de los números arábigo-hindúes, incluido el 0, aparecieron en algún momento entre el 400 y el 850 d.C., aunque hay pruebas recientes que sugieren que el 0 puede haberse inventado ya en el año 330 a.C. El signo cero comenzó como un punto. Es posible que el desarrollo tardío del 0 se debiera a que la gente no veía el cero como una solución significativa cuando estaban haciendo problemas prácticos.

Alrededor del 850 EC, un matemático que escribía en la India declaró que el 0 era el elemento de identidad para la suma, aunque pensaba que la división por 0 también daba como resultado un número idéntico al original. Unos 300 años más tarde, otro matemático hindú explicó que la división por 0 daba como resultado el infinito.

Hacia el año 500 a.C.E., los chinos utilizaron barras numéricas como ayuda para el cálculo. Los coreanos continuaron usando barras de números después de los chinos, y los japoneses habían reemplazado las barras de conteo con cuentas en forma de ábaco. Las barras rojas representaban números positivos y las barras negras representaban números negativos.

El libro Aritmética de Diofante (ca. 250 C.E.) llama “absurda” a una ecuación como 4x + 20 = 4 porque llevaría a x = -4. Los números negativos se mencionan alrededor del 628 C.E. en el trabajo de un matemático indio, y más tarde aparecen en todos los escritos matemáticos hindúes. Leonardo Pisano Fibonacci, escribiendo en 1202, no prestó atención a los números negativos. No fue hasta el Renacimiento que los escritores matemáticos comenzaron a prestar atención a los números negativos.

La idea de dejar que una variable como la a o la x representara un número que pudiera ser positivo o negativo se desarrolló alrededor de 1659. El signo negativo, tal como se conoce hoy en día, comenzó a utilizarse alrededor de 1550, junto con las palabras menos y negativo para indicar estos números.

La idea de las raíces cuadradas, que conduce a números irracionales como algunas fórmulas aparentemente surgió del trabajo de los pitagóricos con los triángulos rectos. Alrededor del 425 A.C.E., los griegos sabían que las raíces cuadradas de 3, 5, 6 y 7 no podían ser fácilmente medidas usando números enteros. Euclides, alrededor del 300 A.C.E., clasificó tales raíces cuadradas como irracionales; es decir, no pueden ser expresadas como la proporción de dos números enteros.

La historia del desarrollo del conocimiento humano de los números reales no es claramente lineal. Diferentes personas en lugares muy separados pensaban y escribían sobre matemáticas y utilizaban una variedad de palabras y notaciones para describir sus conclusiones. El desarrollo de los números que no son reales, es decir, los números que no se encuentran en lo que hoy se llama la línea de números reales, comenzó hace unos 2.000 años.

La raíz cuadrada de un número negativo, que conduce al desarrollo del sistema numérico complejo, aparece en una obra de Garza de Alejandría alrededor del año 50 E.C. Él y otros griegos reconocieron el problema, y los matemáticos indios alrededor del año 850 E.C. declararon que una cantidad negativa no tiene raíz cuadrada. Mucho más tarde en Italia, después de la invención de la imprenta, estas raíces fueron llamadas “raíces menos”. Muchas aplicaciones en matemáticas, como el análisis de series temporales y el análisis de negocios, ignoran estas “raíces negativas” en la búsqueda e interpretación de soluciones. El tiempo “menos”, o tiempo “negativo”, no es práctico cuando se examina la trayectoria de vuelo de una pelota de golf o se examinan los ingresos y beneficios de un restaurante. Estas raíces “menos” son ignoradas, y las raíces positivas son valoradas.

En 1673 John Wallis dijo que la raíz cuadrada de un número negativo no es más imposible que los propios números negativos, y fue él quien sugirió dibujar una segunda línea numérica perpendicular a la línea numérica real y utilizarla como eje imaginario.

Datos verificados por: Chris

Recursos

Traducción al Inglés

Traducción al inglés de Historia de las matemáticas: History of mathematics

Véase También

Antigüedad
Antiguo Oriente
Mesopotamia
Matemáticas
Historia de las matemáticas
Ciencias del lenguaje
Sistemas de escritura
Economía en General, Historia de la Educación, Evolución de las Matemáticas,

Áreas Temáticas: Antigüedad, Antiguo Egipto, Antiguo Oriente, Ciencias del lenguaje, Evolución de las Matemáticas, Historia de la Educación, Historia de las matemáticas, Matemáticas, Mesopotamia, Sistemas de escritura

Bibliografía

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