Matemáticas

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Estudio de la Evolución de las Matemáticas

Orígenes desconocidos

Parece inevitable que el pensamiento matemático haya desempeñado un papel en la teorización humana desde el principio de la raza, y de diversas maneras. La aritmética (como se conoció la rama posterior de las matemáticas) habría sido una de ellas, motivada inicialmente por la formación de números enteros en relación con el conteo.Si, Pero: Pero otras ramas seguramente incluyen la geometría, vinculada a la apreciación de la línea, la superficie y el espacio; la trigonometría, inspirada en la conciencia de los ángulos; la mecánica, relacionada con el movimiento de los cuerpos grandes y pequeños y la (in)estabilidad de las estructuras; la teoría parte-todo, a partir de la consideración de las colecciones de cosas; y la probabilidad, procedente de los juicios y conjeturas sobre las situaciones.Entre las Líneas En todos los casos, el pensamiento habría comenzado siendo muy intuitivo, y gradualmente se habría vuelto más explícito y menos particular.

Algunos de los contextos asociados habrían sido proporcionados por el estudio del medio ambiente (como los días) y de los cielos (como las lunas nuevas y llenas), que era una de las principales preocupaciones de las culturas antiguas en todas las partes del mundo; en aquellos tiempos las matemáticas y la astronomía estaban estrechamente vinculadas. Por ejemplo, el artefacto más antiguo reconocido es un hueso procedente de África, que se cree que tiene unos treinta y siete mil años de antigüedad, en el que parecen haberse grabado las fases de la luna.

Entre las diversas culturas antiguas, los babilonios son los que han dejado las primeras pruebas de su práctica matemática. Contaban con fichas desde el octavo milenio; y desde finales del cuarto milenio expresaban los números y las propiedades de la aritmética en un sistema numérico de base 10 y manejaban las fracciones en expansiones de potencias de 1/60. Muchos de los artefactos que se conservan parecen estar relacionados con la educación; por ejemplo, los ejercicios que exigen el cálculo de cantidades desconocidas, que corresponden a la solución de ecuaciones, pero que no se identifican como tales. También desarrollaron la geometría, en gran parte con fines terrestres. Los egipcios realizaron estudios similares, e incluso encontraron una fórmula (no la misma) para el volumen de la base rectangular de una pirámide de lados dados. También se ocuparon del interesante problema matemático de representar una fracción como la suma de recíprocos.

Una cuestión matemática importante para estas culturas era la relación entre los círculos y las esferas y los objetos rectilíneos, como las líneas y los cubos. Se trata de la cantidad que simbolizamos por, y se conservan pruebas antiguas de métodos de aproximación a su valor.Si, Pero: Pero no está claro que estas culturas supieran que la misma cantidad se da en todas las relaciones.

Sobre las matemáticas griegas

El perfeccionamiento de las matemáticas fue efectuado especialmente por los antiguos griegos, que florecieron durante aproximadamente un milenio a partir del siglo VI a.C. A Pitágoras y su clan se les atribuyen muchas cosas, empezando por sus compatriotas posteriores: la eternidad de los números enteros; la conexión entre las relaciones de los números enteros y los intervalos musicales; el teorema que relaciona los lados de un triángulo rectángulo; etc. Se dice que su contemporáneo Tales (c. 625-c. 547 a.C.) lanzó la trigonometría con su apreciación del ángulo. Sin embargo, no se conserva nada directamente de ninguno de los dos.

Una figura mucho más afortunada en cuanto a la supervivencia es Euclides (fl. c. 300 a.C.), especialmente con sus Elementos. Aunque no se conserva ningún prefacio explicativo, parece que la mayor parte de las matemáticas presentadas eran su interpretación del trabajo de sus predecesores, pero que (parte de) la organización sistemática que le hizo ganar tantos admiradores posteriores podría ser suya. Enunció explícitamente los axiomas y supuestos en los que se fijó; uno de ellos, el axioma del paralelo, carecía de la claridad intuitiva de los demás, por lo que recibiría mucha atención en culturas posteriores.

Los Elementos constaban de trece libros: Los libros 7-9 trataban de la aritmética, y los demás presentaban la geometría básica plana (libros 1-6) y sólida (libros 11-13) de las figuras rectilíneas y circulares. El extraordinario Libro 10 exploraba las propiedades de las relaciones entre líneas menores y mayores, algo parecido a una teoría de los números irracionales, pero que tampoco se identificaba así. Una característica notable es que Euclides limitó el papel de la aritmética dentro de la geometría a los múltiplos de las líneas (por ejemplo, “el doble de esta línea es…”), a un papel en el establecimiento de las proporciones y al uso de los recíprocos (como 1/5); no se ocupó de las longitudes, es decir, de las líneas medidas aritméticamente.

Una Conclusión

Por lo tanto, no dijo nada sobre el valor de, ya que se relaciona con la medición.

Los griegos eran conscientes de las limitaciones de la línea recta y del círculo.Entre las Líneas En particular, encontraron muchas propiedades y aplicaciones de las “secciones cónicas”: parábola, hipérbola y elipse. A Hipócrates de Quíos (fl. c. 600 a.C.) se le atribuyen tres “problemas clásicos” (un nombre posterior) que sus compatriotas sospechaban (con razón) que no se podían resolver sólo con regla y compás: (1) construir un cuadrado de igual área que un círculo dado; (2) dividir cualquier ángulo en tres partes iguales; y (3) construir un cubo de doble volumen que uno dado. Las soluciones que encontraron ampliaron su repertorio de curvas.

Entre los griegos posteriores, Arquímedes (c. 287-212 a.C.) destaca por la amplitud y profundidad de su obra. Sus trabajos sobre geometría circular y esférica demuestran que conocía las cuatro funciones; pero también escribió mucho sobre mecánica, incluyendo los cuerpos flotantes (el cuento “¡eureka!”) y el equilibrio de la palanca, y el enfoque de los espejos parabólicos. Otras figuras desarrollaron la astronomía, en parte como trigonometría aplicada, tanto plana como esférica; en particular, Ptolomeo (finales del siglo II) “recopiló” muchos conocimientos en su Almgest, tratando tanto las órbitas como las distancias de los cuerpos celestes respecto a la Tierra central y estacionaria.

Otras tradiciones

Las matemáticas se desarrollaron bien desde la antigüedad también en el Extremo Oriente, con tradiciones distintas en la India, China, Japón, Corea y Vietnam. La aritmética, la geometría y la mecánica volvieron a ocupar un lugar destacado; entre las características especiales cabe destacar un potente método chino equivalente a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales, una bonita teoría de los círculos conmovedores en la “geometría del templo” japonesa y un trabajo pionero en la teoría de los números por parte de los indios. También introdujeron el sistema numérico de valor posicional en base 10, del que utilizamos un descendiente que se desarrolló tras varios cambios en los símbolos adoptados.

Este sistema numérico fue transmitido a Europa por los matemáticos que trabajaban en la civilización islámica medieval, que a menudo, aunque no siempre, escribían en árabe. Se convirtieron en la cultura dominante en matemáticas a partir del siglo IX y continuaron con fuerza hasta el XIV. Asimilaron gran parte de las matemáticas griegas; de hecho, son nuestra única fuente para algunas de ellas.

El primer autor importante fue al-Khwarizmi (fl. c. 800-847), que sentó las bases del álgebra, especialmente la solución de ecuaciones. Él y sus seguidores lanzaron la teoría utilizando palabras en lugar de símbolos especiales para marcar las incógnitas y las operaciones. Otros intereses en el campo de la geometría fueron los intentos de demostrar el axioma paralelo de Euclides y las aplicaciones a la óptica y la trigonometría; un caso importante de esta última fue la determinación de la qibla (es decir, la dirección de La Meca) para cualquier momento y lugar en los momentos de oración musulmana. Sus enormes contribuciones a la astronomía incluyeron la teoría y la fabricación de astrolabios.

El despertar de Europa a partir del siglo XII

A partir de la decadencia del Imperio Romano (incluida Grecia), Euclides estuvo inactivo desde el punto de vista matemático, aunque el reino carolingio inspiró algunos trabajos, al menos en materia de educación. El renacimiento data de finales del siglo XII, cuando también comenzaron a formarse universidades. La principal fuente de las matemáticas fueron las traducciones al latín de escritos griegos y árabes (y las reediciones de escritores romanos, especialmente Boecio). Además, el italiano Leonardo Fibonacci (c. 1170-c. 1240) elaboró en 1202 un extenso Liber Abbaci que recogía en latín muchas partes de la aritmética y el álgebra árabes (incluidos los números indios); su libro fue influyente, aunque quizá menos de lo que se piensa. La península italiana era entonces la región más poderosa de Europa, y en ella se producían muchas matemáticas comerciales y de “investigación”; los estados alemanes y las islas británicas también llegaron a contar con algunas figuras eminentes. Además, surgió una tradición hebrea algo distinta, por ejemplo, en la teoría de la probabilidad.

Se desarrolló una competición entre dos métodos diferentes de cálculo. La tradición consistía en representar los números colocando guijarros (en latín, calculi) en determinadas posiciones sobre una superficie plana (en latín, ábaco, con una b), y sumar y restar moviendo los guijarros según unas reglas dadas. Sin embargo, con los nuevos números llegó un procedimiento rival de cálculo en papel, que se fue imponiendo poco a poco, ya que, además de permitir la multiplicación y la división, el practicante podía mostrar y comprobar su trabajo, una facilidad importante de la que no disponían los que movían los guijarros.

Las matemáticas se beneficiaron rápidamente de la invención de la imprenta a finales del siglo XV; no sólo se imprimieron Euclides, sino también muchos libros de cálculo. La trigonometría se convirtió en una rama importante en los siglos XV y XVI, no sólo para la astronomía sino también, a medida que se desarrollaba el imperialismo europeo, para la cartografía, y las necesidades de la navegación y la astronomía hicieron que la rama esférica fuera más importante que la plana. La geometría se aplicó también al arte, con cuidadosos estudios de perspectiva; Piero della Francesca (c. 1420-1492) y Alberto Durero (1471-1528) fueron conocidos no sólo como grandes artistas sino también como importantes matemáticos.

El cálculo numérico se benefició enormemente del desarrollo de los logaritmos a principios del siglo XVII por parte de John Napier (1550-1617) y otros, ya que entonces la multiplicación y la división podían reducirse a la suma y la resta. Los logaritmos sustituyeron a un método más torpe llamado “prosapia” que utilizaba ciertas fórmulas trigonométricas.

En el álgebra, el uso de símbolos especiales fue aumentando progresivamente, hasta que en su Géométrie (1637), René Descartes (1596-1650) introdujo (más o menos) las notaciones que aún utilizamos, así como la geometría analítica. Su compatriota Pierre de Fermat (1601-1665) también trabajó en estas áreas y aportó algunos teoremas y conjeturas a la teoría de los números. Además, mantuvo correspondencia con Blaise Pascal (1623-1662) sobre los juegos de azar, promoviendo así partes de la teoría de la probabilidad.

En el ámbito de la mecánica, en el siglo XII se formó una notable escuela en el Merton College de Oxford para estudiar diversos tipos de movimiento terrestre y celeste. El principal acontecimiento de la mecánica celeste fue la obra de Nicolás Copérnico (1473-1543) De revolutionibus (1453; Sobre las revoluciones), en la que se trasladaba el reposo de la Tierra al Sol (aunque, por lo demás, la dinámica de los movimientos circulares y epicicloidales no se veía muy alterada). A principios del siglo XVII, las siguientes etapas fueron, sobre todo, el abandono por parte de Johannes Kepler (1571-1630) de las órbitas circulares para los planetas y el análisis de Galileo Galilei (1564-1642) de los movimientos horizontales y verticales (locales) de los cuerpos.

La época de Newton y Leibniz

A mediados del siglo XVII, la ciencia se había profesionalizado lo suficiente como para que se instituyeran algunas sociedades nacionales, especialmente la Royal Society de Londres y la Académie des Sciences de París.Entre las Líneas En esa época surgieron dos grandes matemáticos: Isaac Newton (1642-1727) en Cambridge y Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) en Hannover. Cada uno de ellos inventó una versión del cálculo diferencial e integral, Newton primero en la creación pero Leibniz primero en la impresión. El uso aquí de los adjetivos de Leibniz reconoce el desarrollo superior de su versión. A principios de 1700, Newton se puso tan furioso (¿o envidioso?) que promovió una acusación de plagio contra Leibniz, con un comité imparcial en la Royal Society (examine más sobre todos estos aspectos en la presente plataforma online de ciencias sociales y humanidades). Fue un desastre para Gran Bretaña: Los seguidores de Newton se quedaron con la teoría de los “fluxiones” y “fluentes” de su maestro, mientras que los continentales desarrollaron las “diferenciales” e “integrales”, con mayor éxito. La acusación también era matemáticamente estúpida, ya que conceptualmente los dos cálculos eran muy diferentes: el de Newton se basaba en el tiempo (abstracto) y se fundamentaba de forma poco clara en la noción de límite, mientras que el de Leibniz utilizaba incrementos infinitesimales en las variables, evitando explícitamente los límites. Por tanto, aunque Leibniz hubiera conocido la teoría de Newton (de la que la comisión no encontró ninguna prueba imparcial), la replanteó por completo.

La guardia inicial de Leibniz era mayoritariamente suiza: los hermanos Jakob (1654-1705) y Johann Bernoulli (1667-1748) a partir de la década de 1680, y luego, a partir de la década de 1720, el hijo de Johann, Daniel (1700-1782) y su compatriota Leonhard Euler (1707-1783), que sería el más grande de todos. Durante el siglo XVIII, ellos y otros matemáticos (especialmente en París) ampliaron el cálculo a un vasto territorio de ecuaciones diferenciales ordinarias y luego parciales, y estudiaron muchas series y funciones relacionadas. Los newtonianos se mantuvieron bastante bien hasta Colin Maclaurin (1698-1746), en la década de 1740, pero luego se desvanecieron.

La principal motivación de este vasto desarrollo provino de las aplicaciones, especialmente a la mecánica. Aquí Newton y Leibniz volvieron a diferir.Entre las Líneas En sus Principia mathematica (1687) Newton anunció las leyes que llegaron a llevar su nombre: (1) un cuerpo permanece en equilibrio o en movimiento uniforme a menos que sea perturbado por una fuerza; (2) la relación entre la magnitud de la fuerza y la masa del cuerpo determina su aceleración; y (3) a toda fuerza de acción corresponde una de reacción, igual en medida y opuesta en sentido. Además, tanto para la mecánica celeste como para la terrestre, que él unió de forma novedosa, la fuerza entre dos objetos reside en la línea recta que los une, y varía como el cuadrado inverso de su longitud.

Con estos principios, Newton pudo abarcar una buena gama de fenómenos mecánicos. Su predicción de que la Tierra estaba achatada en los polos, corroborada por una expedición realizada en la década de 1740, fue un éxito notable. También tuvo una espléndida idea de por qué los planetas no seguían exactamente las órbitas elípticas alrededor del sol que sugería la ley del cuadrado inverso: estaban “perturbados” de ellas al interactuar entre sí. El estudio de las perturbaciones se convirtió en un tema primordial en el siglo XVIII, siendo especialmente significativo el trabajo de Euler. Euler también demostró que la ley 2 podía aplicarse a cualquier dirección en una situación mecánica, lo que aumentaba enormemente su utilidad. Él y otros hicieron importantes contribuciones a la mecánica de los medios continuos, especialmente a la mecánica de los fluidos y a la teoría de la elasticidad, en las que Newton había sido algo esquemático.

Las matemáticas en el siglo XVIII: El lugar de Lagrange

Sin embargo, la teoría de Newton no estaba sola en la mecánica. Leibniz y otros desarrollaron un enfoque alternativo, en parte inspirado por Descartes, en el que las “fuerzas vivas” (aproximadamente, la energía cinética) de los cuerpos estaban relacionadas con sus posiciones. Poco a poco se convirtió en una teoría de las fuerzas vivas convertidas en “trabajo” (un término posterior), especificado como (fuerza x distancia recorrida). Los ingenieros se aficionaron a ella por su utilidad en sus preocupaciones, especialmente cuando se trataba de impactos entre cuerpos; a partir de la década de 1780, Lazare Carnot (1753-1823) la propuso como enfoque general para la mecánica.

Carnot puso en tela de juicio la teoría de Newton, pero su principal objetivo era una nueva tradición reciente iniciada en parte por Jean d’Alembert (1718-1783) a mediados de siglo y desarrollada por Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). D’Alembert, que desconfiaba de la noción de fuerza, propuso definirla mediante la ley 2 de Newton, que sustituyó por otra que indicaba cómo se movían los sistemas de cuerpos cuando eran perturbados del equilibrio.Entre las Líneas En esa época, Euler y otros propusieron un “principio de mínima acción”, que afirmaba que la acción (noción mecánica definida por una integral) de un sistema mecánico tomaba su valor óptimo cuando se alcanzaba el equilibrio. Lagrange elaboró estos principios para crear la Méchanique analitique (1788), en la que desafiaba las otras dos tradiciones; en particular, la dinámica se reducía matemáticamente a la estática. Para él, una gran ventaja de sus principios era que estaban formulados exclusivamente en términos algebraicos; como proclamaba en el prefacio de su libro, no había diagramas, ni necesidad de ellos. Uno de sus principales logros fue un intento magnífico, aunque no concluyente, de demostrar que el sistema de los planetas era estable; predecesores como Newton y Euler habían dejado esa cuestión a Dios.

Lagrange formuló la mecánica de este modo para hacerla (más) rigurosa. Del mismo modo, algebró el cálculo al suponer que cualquier función matemática podía expresarse en una serie de potencias infinitas (la llamada serie de Taylor), y que las nociones básicas de derivada (su palabra) e integral podían determinarse únicamente mediante manipulaciones algebraicas. También amplió en gran medida el cálculo de variaciones, una noción clave en el principio de mínima acción.

Al igual que en la mecánica, el cálculo de Lagrange desafió a los anteriores, el de Newton y el de Leibniz, y al igual que allí, la reacción fue cautelosa. Un buen ejemplo para ambos contextos fue Pierre-Simon Laplace (1749-1827), una figura importante a partir de 1770. Aunque fuertemente influenciado por Lagrange, no se limitó a las limitaciones del libro de Lagrange cuando escribió su propio Traité de mécanique céleste (1799-1805; Tratado de mecánica celeste), de cuatro volúmenes. Su exposición de la mecánica celeste y planetaria utiliza muchas ecuaciones diferenciales, series y funciones.

La Revolución Francesa y una nueva profesionalización

Laplace publicó su gran libro en una nueva situación profesional y económica para la ciencia. Tras la Revolución de 1789 en Francia, se reformó la enseñanza superior y sus instituciones, con especial énfasis en la ingeniería.Entre las Líneas En particular, se creó una nueva escuela, la École Polytechnique (1794), con figuras destacadas como profesores (como Lagrange) y como examinadores (Laplace), y con una matrícula de estudiantes determinada por el talento, no por el nacimiento. Surgió una nueva clase de científicos e ingenieros, y las matemáticas se enseñaron, aprendieron, investigaron y publicaron a una escala hasta entonces desconocida.

De esta masa de trabajo sólo se pueden resumir aquí algunos casos principales. Joseph Fourier (1768-1830) destaca por su análisis matemático de la difusión del calor, tanto por la ecuación diferencial para representarla (la primera ecuación importante de este tipo encontrada fuera de la mecánica) como por las soluciones mediante ciertas series infinitas y por integrales que ahora llevan su nombre. A partir de la década de 1820 atrajeron mucha atención, no sólo por su uso en la teoría del calor, sino especialmente por la tarea “pura” de establecer las condiciones de su verdad. Acababan de aparecer nuevas técnicas de rigor, principalmente de la mano de Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), licenciado en la École Polytechnique y ahora profesor de la misma. Enseñó una cuarta aproximación al cálculo (y también a las funciones y series), basada, como la de Newton, en los límites, pero fortificada ahora por una cuidadosa teoría de los mismos; aunque bastante poco intuitiva, sus méritos matemáticos llevaron gradualmente a todo el mundo a preferirla sobre las otras tres aproximaciones.

Irónicamente, el propio análisis de Cauchy de las series de Fourier fracasó, pero un bello tratamiento que seguía su enfoque llegó en 1829 de la mano de J. P. G. Dirichlet (1805-1859), nombre que suena a francés de un joven alemán que había estudiado con los maestros en París. Dirichlet también ejemplifica una novedad de la época: otros países producen grandes matemáticos. Otro ejemplo contemporáneo es el de las funciones elípticas, que Carl Jacobi (1804-1851) y el joven noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) inventaron de forma independiente después de muchos trabajos pioneros sobre la función inversa de A. M. Legendre (1752-1833).

Jacobi y Abel se basaron en otra importante contribución a las matemáticas realizada por Cauchy cuando, por analogía con el cálculo, desarrolló una teoría de funciones de la variable compleja x + √ – 1y (x e y reales), completa con una integral. Su progreso fue irregular, desde la década de 1810 hasta la de 1840; después, sin embargo, su teoría llegó a ser reconocida como una rama importante de las matemáticas, con pasos posteriores dados especialmente por los alemanes.

Entre 1810 y 1830 los franceses iniciaron otras partes de la física matemática, además de Fourier sobre el calor: Siméon-Denis Poisson (1781-1840) sobre el magnetismo y la electrostática; André-Marie Ampère (1775-1836) sobre la electrodinámica; y Augustin Jean Fresnel (1788-1827) sobre la óptica con su teoría ondulatoria. Las matemáticas desempeñaron un papel importante: se tomaron muchas analogías de la mecánica, que a su vez se desarrolló masivamente, con el enfoque energético de Carnot elaborado por ingenieros como Gaspard-Gustave Coriolis (1792-1843), y la mecánica continua ampliada, especialmente por Cauchy.

La geometría también se enseñó y estudió ampliamente. Gaspard Monge (1746-1818) trató de desarrollar la “geometría descriptiva” hasta convertirla en una rama genérica de las matemáticas y le dio importancia en el primer plan de estudios de la École Polytechnique; sin embargo, esta útil teoría del dibujo de ingeniería no podía tener tanta importancia, y Laplace hizo que se redujera su enseñanza.Si, Pero: Pero su antiguo alumno Jean Victor Poncelet (1788-1867) se inspiró en parte en ella para desarrollar “las propiedades proyectivas de las figuras” (Traité des propries projectives de figures, 1822), donde estudió características independientes de la medida, como el orden de los puntos en una línea.

El principal matemático fuera de Francia en esta época fue C (examine más sobre todos estos aspectos en la presente plataforma online de ciencias sociales y humanidades). F. Gauss (1777-1855), director del Observatorio de la Universidad de Göttingen. Podría decirse que fue el más grande de todos, con importantes trabajos publicados en teoría de los números, mecánica celeste y aspectos del análisis y la teoría de la probabilidad. Sin embargo, no fue muy activo socialmente y dejó muchas ideas clave en sus manuscritos (por ejemplo, sobre las funciones elípticas).

Otros grandes colaboradores fuera de Francia son George Green (1793-1841), quien, en An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (1828), elaboró un maravilloso teorema de la teoría del potencial (palabra suya) que relacionaba el estado de cosas en el interior de un cuerpo extendido con el de su superficie.Si, Pero: Pero publicó su libro de forma muy oscura, y sólo se dio a conocer en la reimpresión de la década de 1850 iniciada por William Thomson (más tarde Lord Kelvin), que estaba haciendo notables contribuciones propias a la teoría.

El internacionalismo de mediados de siglo

En la década de 1840, Gran Bretaña y los estados italianos y alemanes estaban produciendo matemáticos de calidad que complementaban e incluso rivalizaban con los franceses, y había nuevos puestos disponibles en las universidades y escuelas de ingeniería de todo el mundo. Entre los alemanes destacan dos figuras.

A partir de 1860, Karl Weierstrass (1815-1897) impartió en la Universidad de Berlín cursos sobre muchos aspectos del análisis de variables reales y complejas y sobre partes de la mecánica, a los que asistieron estudiantes de muchos países que luego volvieron a sus países y enseñaron lo mismo. Mientras tanto, en Gotinga, Bernhard Riemann (1826-1866) replanteó el análisis de variables complejas y revolucionó la comprensión de las series de Fourier y los fundamentos de la geometría. Gran parte de este trabajo no se publicó hasta después de su temprana muerte, en 1866, pero pronto tuvo un gran impacto. Los trabajos sobre las series de Fourier llevaron a Georg Cantor (1845-1918) a desarrollar la teoría de conjuntos a partir de la década de 1870.Entre las Líneas En cuanto a la geometría, Riemann demostró que la euclidiana era sólo una de las muchas geometrías posibles, y que cada una de ellas podía definirse independientemente de cualquier espacio de incrustación. La posibilidad de las geometrías no euclidianas, utilizando alternativas al axioma de las paralelas, había sido expuesta hacia 1830 en trabajos poco reconocidos de Janos Bolyai (1802-1860) y Nicolai Lobachevsky (1793-1856) (y, en el manuscrito, de Gauss); Riemann, sin embargo, fue mucho más allá y nos aportó una comprensión adecuada de la pluralidad de geometrías.

Weierstrass emuló y, de hecho, mejoró el rigor al estilo de Cauchy, formulando cuidadosamente definiciones y distinciones y presentando pruebas con gran detalle. Por el contrario, Riemann trabajaba de forma intuitiva, ofreciendo ideas maravillosas pero a menudo sin pruebas, basadas en alguna “fantasía geométrica”, como la describía Weierstrass. Un buen ejemplo son sus revisiones del análisis de variables complejas de Cauchy: Weierstrass se basó únicamente en las expansiones de series de potencias de las funciones, mientras que Riemann inventó superficies que ahora llevan su nombre y que se cortan de muchas maneras notables. Entre las muchas consecuencias de esto último, el alemán Felix Klein (1849-1925) y el francés Henri Poincaré (1854-1912) encontraron a principios de la década de 1880 hermosas propiedades de las funciones definidas en estas superficies, que relacionaron con la teoría de grupos como parte del surgimiento de las álgebras abstractas.

Otro ejemplo de la diferencia entre Riemann y Weierstrass lo proporciona la teoría de potenciales. Riemann utilizó un principio empleado por su mentor Dirichlet (y también previsto por Green) para resolver problemas de la teoría de potenciales, pero en 1870 Weierstrass expuso su falibilidad mediante un contraejemplo, por lo que los métodos se complicaron mucho más.

A mediados de siglo llegaron mejores noticias para la teoría del potencial con la física “energética” de Thomson, Hermann von Helmholtz (1821-1894) y otros. La expresión de trabajo de la mecánica de la ingeniería se extendió a la admisión de los potenciales, que ahora abarcaban todos los factores físicos (como el calor) y no sólo los mecánicos que habían separado a Carnot de Lagrange. La tradición algebraica de este último en mecánica había sido elaborada por Jacobi y por el irlandés William Rowan Hamilton (1805-1865), que también introdujo su álgebra de cuaterniones.

Basado en la experiencia de varios autores, mis opiniones, perspectivas y recomendaciones se expresarán a continuación (o en otros lugares de esta plataforma, respecto a las características en 2026 o antes, y el futuro de esta cuestión):

Entre otros desarrollos relacionados, el escocés James Clerk Maxwell (1831-1879) expuso las teorías de la electricidad y el magnetismo (incluyendo, para él, la óptica) en su Tratado sobre la electricidad y el magnetismo (1873). Partiendo de los potenciales eléctrico y magnético como perturbaciones del éter, en lugar de fuerzas como las de Newton que actúan a distancia a través de él, presentó las relaciones entre sus nociones básicas como ecuaciones diferenciales (expresadas en forma de cuaterniones). Un seguidor crítico fue el inglés Oliver Heaviside, que también analizó las redes eléctricas mediante un notable pero misterioso álgebra de operadores. Otros “maxwelianos” prefirieron sustituir la dependencia de los campos por hablar de “cosas”, como los electrones y los iones; la relación entre el éter y la materia (J. J. Larmor, Aether and Matter, 1900) fue una cuestión importante en la física matemática de finales de siglo.

A Principios del Siglo XX

Surge un nuevo líder: el alemán David Hilbert (1862-1943). Sus trabajos sobre las álgebras abstractas y los fundamentos de la geometría le llevaron a subrayar la importancia de axiomatizar las teorías matemáticas (incluidos los axiomas de la geometría euclidiana en los que Euclides no había reparado) y a estudiar sus fundamentos de forma metamatemática.Si, Pero: Pero sus conocimientos matemáticos eran lo suficientemente amplios como para proponer veintitrés problemas para el nuevo siglo; aunque era una elección personal, ejerció una influencia considerable en la comunidad. Lo presentó en el Congreso Internacional de Matemáticos, celebrado en París en 1900, como el segundo de una serie que manifestaba el creciente sentido de colaboración internacional en matemáticas que aún continúa.

Uno de los problemas de Hilbert se refería a los fundamentos de la física, que iba a estudiar intensamente.Entre las Líneas En física, Albert Einstein (1879-1955) propuso su teoría especial de la relatividad en 1905 y una teoría general diez años después; según ambas, el éter no era necesario. Desde el punto de vista matemático, la teoría general utilizaba y avanzaba el cálculo tensorial, que se había desarrollado en parte a partir de la interpretación de la geometría de Riemann.

Otro tema importante de la física era la mecánica cuántica, que se basaba en las ecuaciones diferenciales parciales y en la teoría vectorial y matricial. Una de sus controversias se refería al principio de incertidumbre de la observación de Werner Heisenberg: ¿debe interpretarse estadísticamente o no? La aparición de este debate, que se inició a mediados de la década de 1920, se vio favorecida por la creciente presencia de la estadística matemática. Aunque la probabilidad debió tener un origen temprano en el pensamiento matemático, tanto ésta como la estadística matemática se habían desarrollado muy lentamente en el siglo XIX, en extraño contraste con la manía de recopilar datos de todo tipo. Laplace y Gauss habían hecho importantes contribuciones en la década de 1810, por ejemplo, sobre el método de regresión por mínimos cuadrados, y Pafnuty Chebyshev (1821-1894) fue importante desde la década de 1860 en San Petersburgo (elevando así el estatus de las matemáticas rusas).Si, Pero: Pero sólo a partir de 1900 se desarrolló con fuerza la teorización en estadística, y la figura principal fue Karl Pearson (1857-1936) en el University College de Londres, y sus alumnos y seguidores. A ellos se debe en gran medida la definición y la teoría de nociones básicas como la desviación estándar y el coeficiente de correlación, los teoremas básicos sobre el muestreo y la clasificación, y las pruebas de significación.

Por otra parte, la teoría de conjuntos y las álgebras abstractas de Cantor se aplicaron a muchas partes de las matemáticas y otras ciencias en el nuevo siglo. Uno de los principales beneficiarios fue la topología, la matemática de la localización y el lugar.Entre las Líneas En el siglo XIX habían surgido algunos casos, como la “banda de Möbius” con un solo lado y una arista, las superficies fantásticas de Riemann y, sobre todo, una notable clasificación de las variedades deformables de Poincaré; sin embargo, la mayoría de los principales desarrollos datan de la década de 1920. Se desarrollaron teorías generales sobre la cobertura, la conexión, la orientación y la deformación de variedades y superficies, además de otros muchos temas. También se propuso una nueva teoría de las dimensiones, ya que Cantor había refutado la concepción tradicional al asignar uno a uno todos los puntos de un cuadrado a todos los puntos de cualquiera de sus lados. Los matemáticos alemanes eran destacados; también los estadounidenses, en un país que había aumentado rápidamente su importancia matemática a partir de la década de 1890.

Datos verificados por: James

A continuación se examinará el significado.

¿Cómo se define? Concepto de Matemáticas

Véase la definición de Matemáticas en el diccionario.

¿Qué son las matemáticas? Mucha gente piensa que las matemáticas (incorrectamente) son la suma, la resta, la multiplicación y la división de los números. Los que tienen más formación matemática pueden pensar que se trata de algoritmos.Si, Pero: Pero la mayoría de los matemáticos profesionales piensan que es mucho más que eso. Aunque esperan que sus estudiantes realicen los algoritmos correctamente, lo que realmente quieren, los mejores al menos, es que entiendan tres cosas: cómo hacer algo, por qué funciona y cuándo funciona.

Muchos han escrito sobre este tema antes. El texto clásico sobre cómo abordar un problema es un maravilloso libro llamado “Cómo resolverlo” de George P’olya. Se llama a sus sugerencias “la lista”.

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Tesauro de Matemáticas

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Véase También

• Estadística
• Censo
• Distribución geográfica
• Ratio
• Nomenclatura
• Estadística de la UE
• Estadística oficial
• Estadística económica
• Sondeo
• Método estadístico
• Estadística regional
• Estadística internacional
• Estadística nacional
• Cálculo científico
• Simulación
• Geometría

Recursos

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Traducción al Inglés

Traducción al inglés de Matemáticas: Mathematics

Véase También

Matemáticas, Lógica Matemática, Fundamentos matemáticos, Análisis, Teoría de los números

Bibliografía

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