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La topología general define las nociones y construcciones habituales de los espacios topológicos. La topología algebraica asocia a cada espacio topológico invariantes algebraicos como números, grupos, módulos o anillos que permiten distinguirlos, en particular en el marco de la teoría de los nudos. La topología diferencial se limita al estudio de las variedades diferenciales, en las que cada punto admite una vecindad homeomórfica a una bola de dimensión finita. Desde la década de 1960, la investigación en topología general se ha adentrado en varias áreas nuevas que implican intrincadas herramientas matemáticas, incluidos los métodos de la teoría de conjuntos. A finales de la década de 1960, los investigadores trabajaron para generalizar algunas de las propiedades topológicas de los espacios de Hilbert de dimensión infinita. Estos esfuerzos prefiguraron una nueva área de la topología que ahora se denomina topología de dimensión infinita. Otra área importante de interés moderno es la topología teórica de conjuntos, en la que se estudia la conexión entre los espacios topológicos y las nociones de la teoría de conjuntos y la lógica. Algunos de los problemas de esta área implican proposiciones topológicas que son independientes de los axiomas de la teoría de conjuntos y que, sin embargo, son coherentes con ellos. Los argumentos resultantes, denominados teoría de forzamiento, han permitido obtener la verdad provisional de algunas de las principales conjeturas topológicas de larga data.